Замощения. Примеры неразрешимых задач: задача о замощении Большое количество художественных композиций художницы посвящено квазикристаллам Шехтмана и решеткам Пенроуза

Речь пойдет о замощении плоскости. Замощение - это покрытие всей плоскости неперекрывающимися фигурами. Вероятно, впервые интерес к замощению возник в связи с построением мозаик, орнаментов и других узоров. Известно много орнаментов, составленных из повторяющихся мотивов. Одно из простейших замощений приведено на рисунке 1.

Плоскость покрыта параллелограммами, причем все параллелограммы одинаковы. Любой параллелограмм этого замощения можно получить из розового параллелограмма сдвигая последний на вектор (векторы и определяются ребрами выделенного параллелограмма, n и m - целые числа). Следует заметить, что всё замощение как целое переходит в себя при сдвиге на вектор (или). Это свойство можно взять в качестве определения: именно, периодическим замощением с периодами и назовём такое замощение, которое переходит в себя при сдвиге на вектор и на вектор. Периодические замощения могут быть и весьма замысловатыми, некоторые из них очень красивы.

Квазипериодические замощения плоскости

Существуют интересные и непериодические замощения плоскости. В 1974г. Английский математик Роджер Пенроуз открыл квазипериодические замощения плоскости. Свойства этих замощений естественным образом обобщают свойства периодических. Пример такого замощения приведён на рисунке 2.

Вся плоскость покрыта ромбами. Между ромбами нет промежутков. Любой ромб замощения с помощью сдвигов и поворотов можно получить всего из двух. Это узкий ромб (36 0 , 144 0) и широкий ромб (72 0 , 108 0), показанные на рисунки 3. Длина сторон каждого из ромбов равна 1. Это замощение не является периодическим - оно очевидно не переходит в себя ни при каких сдвигах. Однако оно обладает неким важным свойством, которое приближает его к периодическим замощениям и заставляет называть его квазипериодическим. Дело в том, что любая конечная часть квазипериодического замощения встречается во всем замощении бесчисленно множество раз. Это замощение обладает осью симметрии 5 порядка, в то время как таких осей у периодических замощений не существует.

Другое квазипериодическое замощение плоскости, построенное Пенроузом, приведено на рисунке 4. Вся плоскость покрыта четырьмя многоугольниками специального вида. Это звезда, ромб, правильный пятиугольник.

А) Преобразование инфляции и дефляции

Каждый из показанных выше трех примеров квазипериодического замощения - это покрытие плоскости с помощью сдвигов и поворотов конечного количества фигур. Это покрытие не переходит в себя ни при каких сдвигах, любая конечная часть покрытия встречается во всём покрытии бесчисленное множество раз, притом, одинаково часто, по всей плоскости. Замощения, описанные выше, обладают некоторым специальным свойством, которое Пенроуз назвал инфляцией. Изучение этого свойства позволяет разобраться в структуре этих покрытий. Более того, инфляцию можно использовать для построения узоров Пенроуза. Наиболее наглядным образом можно проиллюстрировать инфляцию на примере треугольников Робинсона. Треугольники Робинсона - это два равнобедренных треугольника P, Q с углами (36 0 , 72 0 , 72 0) и (108 0 , 36 0 , 36 0) соответственно и длинами сторон, как на рисунке 6. Здесь ф - золотое сечение:

Эти треугольники можно разрезать на меньшие, так, чтобы каждый их новых (меньших) треугольников был подобен одному из исходных. Разрезание показано на рисунке 7: прямая ас является биссектрисой угла dab, а отрезки ae, ab и ac равны. Легко видеть, что треугольник acb и ace равны между собой и подобны треугольнику Р, а треугольник cde подобен треугольнику Q. Треугольник Q разрезан так. Длина отрезка gh равна длине отрезка ih (и равна 1). Треугольник igh подобен треугольнику Р, а треугольник igf подобен треугольнику Q. Линейные размеры новых треугольников в t раз меньше чем у исходных. Такое разрезание называется дефляцией.

Обратное преобразование - склеивание - называется инфляцией.

Рисунок показывает нам, что из двух Р - треугольников и одного Q - треугольника можно склеить Р - треугольник, а из Р и Q треугольника можно склеить Q треугольник. У новых (склеенных) треугольников линейные размеры в t раз больше, чем у исходных треугольников.

Итак, мы ввели понятие преобразований инфляции и дефляции. Ясно, что преобразование инфляции можно повторить; при этом получится пара треугольников, размеры которых в t 2 раз больше исходных. Последовательно применяя преобразования инфляции, можно получить пару треугольников сколь угодно большого размера. Таким образом, можно замостить всю плоскость.

Можно показать, что описанное выше замощение треугольниками Робинсона не является периодическим

Доказательство

Наметим доказательство этого утверждения. Будем рассуждать от противного. Предположим, что замощение плоскости треугольниками Робинсона периодическое с периодами u и w . Покроем плоскость сетью параллелограммов со сторонами u, w Обозначим через р число Р - треугольников, у которых левая нижняя вершина (относительно нашей сети) расположена в заштрихованном параллелограмме; аналогично определим число q. (Отобранные р+q треугольников образуют так называемую фундаментальную область данного периодического замощения.) Рассмотрим круг с радиусом R с центром О. Обозначим через PR (собственно QR) число Р-треугольников (соответственно - Q - треугольников), лежащих внутри этого круга.

Докажем, что

1) Действительно, число треугольников, пересекающих окружность радиуса R, пропорционально R, в то время как число треугольников внутри круга радиуса R пропорционально R 2 . Поэтому в пределе отношение числа Р - треугольников к числу Q - треугольников в круге равно этому отношению в фундаментальной области.

Возьмем теперь наше замощение и выполним преобразования дефляции. Тогда в исходной фундаментальной области окажется pґ = 2p + q меньших Р - треугольников и qґ = p +q меньших Q - треугольников. Обозначим через pґR и qґR число меньших треугольников в круге радиуса R. Теперь легко получить противоречие. В самом деле,

= = = = (правило Лопиталя)

Откуда, решая уравнение

p/q=(2p+q)/(p+q),

в то время как p и q - целые! Противоречие показывает, что замощение треугольниками Робинсона - не периодическое.

Оказывается, что это покрытие треугольниками Робинсона не единственное. Существует бесконечно много различных квазипериодических покрытий плоскости треугольниками Робинсона. Грубо говоря, причина этого явления лежит в том, что при дефляции биссектрису на рисунке 7 можно провести из вершины b , а не из вершины а. Использую этот произвол, можно добиться, например, что бы покрытие треугольниками превратилось в покрытие треугольниками ромбами

Б) Преобразование дуальности

Способ построения квазипериодических замощений, приведенный выше, выглядит как догадка. Однако существует регулярный способ построения квазипериодических покрытий. Это метод преобразования дуальности, идея которого принадлежит голландскому математику де Брауну.

Поясним этот метод на примере построения замещения плоскости ромбами (см. рис 3). Сначала построим сетку G. Для этого возьмём правильный пятиугольник и пронумеруем его стороны (j = 1,2,3,4,5; рис 10). Рассмотрим сторону с номером j. Построим бесконечный набор прямых, параллельных этой стороне, так что бы расстояние между двумя ближайшими прямыми равнялось 1.

Проведём аналогичное построение для каждой из сторон пятиугольника; прямые мы проведём так, чтобы они пересекались лишь попарно. Получится набор прямых, который не является периодическим (Рис 9).Прямые в этом наборе будем обозначать буквами l. Перенумеруем прямые двумя индексами: l j (n). Здесь j указывает на направление прямой (какой стороне пятиугольника она параллельна). Целое число n нумерует различные параллельные прямые, пробегает все целые значения (как положительные, так и отрицательные). Этот набор прямых делит плоскость на бесконечный набор многоугольников. Эти многоугольники называются гранями сетки. Стороны многоугольников будем называть ребрами сетки, а вершины многоугольников - вершинами сетки. (Аналогично для квазипериодического покрытия Q: ромбы - это грани Q, стороны ромбов - рёбра Q, вершины ромбов - вершины Q)

Таким образом, сетка G построена. Совершим теперь преобразование дуальности. Каждый грани сетки G сопоставим вершину квазипериодического покрытия Q (вершину ромба). Вершины обозначим буквами (это векторы). Сначала сопоставим каждой грани M сетки пять целых чисел n j = (M), j - 1,2, ….5 по следующему правилу. Внутренние точки M лежат между какой-то прямой l j (n) и параллельной ей прямой l j (n+1).

Это целое число n мы сопоставим грани M. Поскольку в сетке есть прямые пяти направлений, то таким образом мы сопоставим пять целых чисел n j (M) каждой М сетки G. Вершина квазипериодического покрытия Q, соответствующая данной грани М сетки G, строится так:

(M) = n 1 (M) + + … +

Здесь - вектор единичной длины, направленный из центра правильного пятиугольника к середине стороны с номером j. Таким образом, каждой грани сетки мы сопоставили вершину покрытия. Так можно построить все вершины Q.

Теперь некоторые вершины соединим между собой отрезками прямых линий. Это будут ребра покрытия Q (стороны ромбов). Для этого рассмотрим пару граней М1 и М2 , имеющих общее ребро. Вершины покрытия, соответствующие этим граням и, мы и соединим между собой отрезками.

Тогда оказывается, что разность

Может быть, равна лишь одному из десяти векторов.

Таким образом, каждому ребру сетки сопоставляется грань покрытия Q. Каждой вершине сетки сопоставляется грань покрытия Q (ромб) Действительно, к каждой вершине сетки примыкают четыре грани M R (R = 1,2,3,4). Рассмотрим соответствующие им четыре вершины покрытия (M R). Из свойства разности (2) следует, что ребра покрытия, проходящие через эти вершины, образуют границу ромба. Квазипериодического покрытие плоскости ромбами построено.

Мы проиллюстрировали метод преобразования дуальности. Это общий способ построения способ квазипериодических покрытий. В этой конструкции правильный пятиугольник можно заменить на любой правильный многоугольник. Получится новое квазипериодическое покрытие. Метод преобразования дуальности применим и для построения квазипериодических структур в пространстве.

В) Квазипериодическое заполнение трехмерного пространства

Существует трехмерное обобщение узоров Пенроуза. Трехмерного пространство может быть заполнено параллелепипедами специального вида. Параллелепипеды не имеют общих внутренних точек и между ними нет промежутков. Каждый параллелепипед этого заполнения с помощью сдвигов и поворотов может быть получено всего из двух параллелепипедов. Это так называемые параллелепипеды Аммана-Маккэя. Для того, чтобы задать параллелепипед, достаточно задать три ребра, выходящих из одной вершины. Для первого параллелепипеда Аммана-Маккэя эти векторы имеют вид:

= (0; 1; ф), = (-ф; 0; -1)

А для второго параллелепипеда:

= (0; -1;ф), = (ф; 0;1), = (0;1; ф)

Заполнение этими параллелепипедами не переходит в себя ни при каких сдвигах, однако любая конечная ему часть встречается во всем заполнение бесчисленное множества раз. Заполнение пространства этими параллелепипедами связано с симметриями икосаэдра. Икосаэдр - платоновское тело. Каждая из его граней является правильным треугольником. Икосаэдр имеет 12 вершин, 20 граней и 30 ребер

Применение

Оказалось, что именно такими симметриями обладает быстро охлажденный алюминиево-марганцевый расплав (открытый в 1984г.) Таким образом, узоры Пенроуза помогли понять структуру вновь открытого вещества. И не только этого вещества, найдены и другие реальные квазикристаллы, их экспериментальное и теоретическое изучение находится на переднем крае современной науки.

место или пространство за мостом.

Для своих учеников я предложила один способ решения задач о непериодичном замощении плоскости фигурами одной формы. Провела исследование двух ученых из Университета Дьюка (США) и мне понравилсв вариант непериодичной мозаики, полностью покрывающей плоскость, с использование плиток одной формы.

Впервые набор плиток состоял из 20426 фигур, которые представил Робетр Бергер в 1966 году. Через некоторое время их число он сократил до 104. В 70-х годах ХХ века Пенроуз представил решение своей мозаикой и использовал 2 различные фигуры. Нашла интересное решение у Дмитрия Сафина, который использовал для своей мозаики одну фигуру – правильный шестиугольник. При укладке таких плиток черные линии не должны прерываться, а флажки в вершинах шестиугольников, которые находятся на расстоянии, равном длине одной стороны плитки (на рисунке отмечены стрелками), должны смотреть в одну сторону. Здесь использовались две различные раскраски: вторая получается при отражении первой относительно вертикальной линии. Без второго варианта раскраски, впрочем, можно обойтись, если плитку сделать трехмерной. Замощение плоскости такими плитками (показано на одном из расположенных ниже рисунков) для удобства представления те флажки на шестиугольниках, которые смотрят влево, заменены здесь фиолетовыми линиями, а флажки другого типа - красными.

Также приведены примеры плиток, которые дают непериодичное замощение при учете одной лишь их формы: в этом случае пропадает необходимость устанавливать правила соединения, связанные с раскраской. В двумерном варианте такие плитки состоят из нескольких изолированных областей, но в трехмерной версии все их части связаны друг с другом.

Далее просмотрела ещё один интересный способ замощения у матеметиков из Австралии Джона Тэйлора и Джошуа Соколара. Они смогли решить задачу так называемой одной плитки. Один из самых простых примеров – гексагональное замощение, когда плоскость, подобно сотам, составляется из шестиугольников, которые соединяются по сторонам. В гексагональном случае это, к примеру, вектор, который соединяет центры соседних ячеек, которые имеют шесть углов. В процессе новой работы математики решали проблему строения непериодического замощения при помощи всего лишь одной плитки. Модель полученной ячейки шестиугольная, но благодаря особенной раскраске замощение получается непериодическим. Помимо задачи двумерной, математики предлагают 3-хмерный аналог своего собственного результата.

Помимо практических приложений теория замощения это источник вдохновения у художников. К примеру, Мауриц Эшер (художник из Нидерландов) при помощи необычных замощений создавал целые картины. В основе его картины «Восемь голов» лежит прямоугольное замощение. Этот художник выполнял рисунки по геометрическим фигурам, где можно проследить использование замощения фигур и не только одной фигурой, а множеством других. Ученики оценили всю прелесть замощения разными фигурами, принесли огромную подборку рисунков художника, пробовали выполнять работы по заданиям в виде рисунков.

Ниже представлены разные рисунки по заданной теме.

Из истории

Квазикристалл - твёрдое тело, характеризующееся симметрией, в классической , и наличием . Обладает наряду с дискретной картиной .

Квазикристаллы наблюдались впервые в экспериментах по на быстроохлаждённом Al 6 Mn, проведенных , за что ему в была присвоена . Первый открытый им квазикристаллический сплав получил название «шехтманит» ( Shechtmanite ). Статья Шехтмана не была принята к печати дважды и в сокращённом виде была в конце концов опубликована в соавторстве с привлечёнными им известными специалистами И. Блехом, Д. Гратиасом и Дж. Каном. Полученная картина дифракции содержала типичные для резкие () пики, но при этом в целом имела точечную икосаэдра, то есть, в частности, обладала осью симметрии пятого порядка, невозможной в трёхмерной периодической решётке. Эксперимент с дифракцией изначально допускал объяснение необычного явления дифракцией на множественных кристаллических двойниках, сросшихся в зёрна с икосаэдрической симметрией. Однако вскоре более тонкие эксперименты доказали, что симметрия квазикристаллов присутствует на всех масштабах, вплоть до , и необычные вещества действительно являются новой структурой организации материи.

Позднее выяснилось, что с квазикристаллами физики сталкивались задолго до их официального открытия, в частности, при изучении , полученных по от зёрен в сплавах в годах. Однако в то время икосаэдрические квазикристаллы были ошибочно идентифицированы как кубические кристаллы с большой . Предсказания о существовании структуры в квазикристаллах были сделаны в и Маки.

В настоящее время известны сотни видов квазикристаллов, имеющих точечную симметрию икосаэдра, а также десяти-, восьми- и двенадцатиугольника.

Атомная модель Al-Pd-Mn квазикристалла

СТРУКТУРА

Детерминистические и энтропийно-стабилизированные квазикристаллы

Существует две гипотезы о том, почему квазикристаллы являются (мета-)стабильными фазами. Согласно одной гипотезе, стабильность вызвана тем, что внутренняя энергия квазикристаллов минимальна по сравнению с другими фазами, как следствие, квазикристаллы должны быть стабильны и при температуре абсолютного нуля. При этом подходе имеет смысл говорить об определённых положениях атомов в идеальной квазикристаллической структуре, то есть мы имеем дело с детерминистическим квазикристаллом. Другая гипотеза предполагает определяющим вклад в стабильность. Энтропийно стабилизированные квазикристаллы при низких температурах принципиально нестабильны. Сейчас нет оснований считать, что реальные квазикристаллы стабилизируются исключительно за счёт энтропии.

Многомерное описание

Детерминистическое описание структуры квазикристаллов требует указать положение каждого атома, при этом соответствующая модель структуры должна воспроизводить экспериментально наблюдаемую картину дифракции. Общепринятый способ описания таких структур использует тот факт, что точечная симметрия, запрещённая для кристаллической решетки в трёхмерном пространстве, может быть разрешена в пространстве большей размерности D. Согласно таким моделям структуры, атомы в квазикристалле находятся в местах пересечения некоторого (симметричного) трёхмерного подпространства R D (называемого физическим подпространством) с периодически расположенными многообразиями с краем размерности D-3, трансверсальными физическому подпространству.

«Правила сборки»

Многомерное описание не даёт ответа на вопрос о том, как локальные могут стабилизировать квазикристалл. Квазикристаллы обладают парадоксальной с точки зрения классической кристаллографии структурой, предсказанной из теоретических соображений (). Теория мозаик Пенроуза позволила отойти от привычных представлений о федоровских кристаллографических группах (основанных на периодических заполнениях пространства).

МЕТАЛЛУРГИЯ

Получение квазикристаллов затрудняется тем, что все они либо метастабильны, либо образуются из расплава, состав которого отличается от состава твёрдой фазы ().

НАТУРАЛЬНЫЕ

Породы с природными Fe-Cu-Al-квазикристаллами найдены на в 1979 году. Однако только в 2009 году учёные из установили этот факт. В 2011 году они выпустили статью, в которой рассказали, что данный квазикристалл имеет внеземное происхождение. Летом того же 2011 года в ходе экспедиции в Россию минералоги нашли новые образцы природных квазикристаллов.

СВОЙСТВА

Первоначально экспериментаторам удалось попасть в очень узкую «температурную щель» и получить квазикристаллические материалы с необычными новыми свойствами. Однако позже обнаружены квазикристаллы в Al-Cu-Li и других системах, которые могут быть устойчивыми вплоть до и расти практически при , как и обычные кристаллы.

В квазикристаллах, в отличие от , при низких температурах аномально велико, а с ростом температуры уменьшается. В слоистых квазикристаллах, вдоль оси электросопротивление ведет себя как в нормальном металле, а в квазикристаллических слоях - описанным выше образом.

Магнитные свойства. Большинство квазикристаллических - , однако сплавы с - .

Квазикристаллов ближе к упругим свойствам аморфных веществ, чем кристаллических. Они характеризуются пониженными по сравнению с кристаллами значениями . Однако квазикристаллы менее , чем сходные по составу кристаллы и, вероятно, они смогут играть роль в металлических сплавах.

КВАЗИКРИСТАЛЛ

особый тип упаковки атомов в твердом в-ве,характеризующийся икосаэдрической (т. е. с осями 5-го порядка) симметрией, дальним ориентационнымпорядком и отсутствием трансляционной симметрии, присущей обычному кристаллическому состоянию. Квазикристалл им. упаковка атомов была открыта в быстро охлажденном металлическом сплаве Аl 6 Мn(1984) и затем обнаружена в системах Al-Fe, Ni-Ti и др. Обычные обладают трехмернойпериодичностью в расположении атомов, исключающей возможность существования осей симметрии 5гопорядка. В аморфном (стеклообразном) состоянии возможны локальные группировки атомов с икосаэдрич.симметрией, но во всем объеме аморфного тела нет дальнего порядка в расположении атомов нитрансляционного, ни ориентационного. К. может рассматриваться как промeжут. тип упорядоченностиатомов между истинно кристаллическим и стеклообразным. Двухмерной моделью К. являются упаковки("паркеты") ромбов с углом при вершине 360°/5 = 72° с осями симметрии 5го порядка: при этом промежуткизаполняются другими ромбами с углом при вершине 360°/10=36° (узор Пенроза, рис. 1); совокупности этихромбов дают равновеликие десятиугольники. Угловая ориентация всех элементов паркета повторяется навсей плоскости это и есть дальний ориснтационный порядок, но истинного трансляционного дальнегопорядка нет (хотя есть приблизительная периодичность вдоль нек-рых направлений).

Рис . 1 . Двухмерная модель квазикристалла ( выделены десятиугольники ).

Рис . 2 . Элементы структуры квазикристалла из пяти тетраэдров: фрагмент икосаэдра (а ), 32 - вершинниктриаконтаэдр (6 ).

Упаковка атомов в трехмерном пространстве К . может быть описана на основе многогранников , содержащихоси 5го порядка , или фрагментов таких многогранников . На рис . 2 , а показан характерный для К . фрагментикосаэдра

(12 - вершинника - двадцатигранника с точечной симметрией 53m ), состоящий из 5 тетраэдров . Чтобы 6 вершинных атомов и центральный образовали плотную упаковку, радиус центрального атомадолжен быть несколькоменьше , чем у вторичного атома ; напр ., в Аl 6 Мn атомный радиус Мn - 0 , 130 нм , Аl - 0 , 143 нм . Фрагментами атомной структуры К . могут быть также трехмерные аналоги узоров Пенроза - острый и тупой ромбоэдры с углами при вершинах 63 , 43 ° и 116 , 57 °, из к - рых можно сложить полиэдр - триаконтаэдр с симметрией 53m , имеющий 32 вершины (рис . 2 , 6 ). В упаковке атомов в К . могутнаблюдаться нарушения , аналогичные дислокациям (см . Дефекты ). К . типа Аl 6 Мn можно рассматриватькак метастабильные фазы . Однако существует структура К . типа сплава Al - Li - Cu - Mn , получаемая примедленном охлаждении расплава , к - рая является , по - видимому , равновесной . В настоящее времяразвиваются физ . теории квазикристаллич . состояния .

Несложно замостить плоскость паркетом из правильных треугольников, квадратов или шестиугольников (под замощением мы понимаем такую укладку, при которой вершины каждой фигуры прикладываются только к вершинам соседних фигур и не возникает ситуации, когда вершина приложилась к стороне). Примеры таких замощений приведены на рис. 1.

Рис. 1. Замощение плоскости: i - равносторонними треугольниками, ii - квадратами, iii - правильными шестиугольниками

Никакими другими правильными n -угольниками покрыть плоскость без пробелов и наложений не получится. Вот как можно это объяснить. Как известно, сумма внутренних углов любого n -угольника равна (n – 2) · 180°. Поскольку все углы правильного n -угольника одинаковые, то градусная мера каждого угла есть . Если плоскость можно замостить такими фигурами, то в каждой вершине сходится k многоугольников (для некоторого k ). Сумма углов при этой вершине должна составлять 360°, поэтому . После нескольких простых преобразований это равенство превращается в такое: . Но, как легко проверить, последнее уравнение имеет только три пары решений, если считать, что n и k натуральные числа: k = 3, n = 6; k = 4, n = 4 илиk = 6, n = 3. Этим парам чисел как раз и соответствуют приведенные на рис. 1 замощения.

А какими другими многоугольниками можно замостить плоскость без пробелов и наложений?

Задача

а) Докажите, что любым треугольником можно замостить плоскость.

б) Докажите, что любым четырёхугольником (как выпуклым, так и невыпуклым) можно замостить плоскость.

в) Приведите пример пятиугольника, которым можно замостить плоскость.

г) Приведите пример шестиугольника, которым нельзя замостить плоскость.

д) Приведите пример n -угольника для какого-либо n > 6, которым можно замостить плоскость.

Подсказки

1) В пунктах а), в), д) можно попытаться составить из одинаковых фигур «полоски», которыми потом легко замостить всю плоскость.

Пункт б): сложите из двух одинаковых четырехугольников шестиугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Такими шестиугольниками замостить плоскость уже достаточно просто.

Пункт г): используйте тот факт, что сумма углов при каждой вершине должна быть равна 360°.

2) В пункте д) можно попробовать действовать и по-другому: немного менять уже имеющиеся фигуры, чтобы получались новые замощения.

Решение

Примеры ответов изображены на рисунках.

а):

Рис. 2

б):

Рис. 3

в) Подойдет пятиугольник в форме домика:

Рис. 4

г) Такими шестиугольниками плоскость замостить не получится: в «вырезанный» угол просто не влезет полностью никакая часть такого шестиугольника. По клеточкам это хорошо видно:

Рис. 5

Можно придумать еще множество других шестиугольников, которыми нельзя замостить плоскость.

д) Вот пример двенадцатиугольника, которым можно замостить плоскость. Этот способ замощения получен как модификация обычной квадратной решетки (см. рис. 1, ii из условия):

Рис. 6

Задача замощения плоскости одинаковыми фигурками без пробелов и наложений известна с древних времен. Один из ее частных случаев - вопрос о том, какими могут быть паркеты (то есть замощения плоскости правильными многоугольниками , причем не обязательно одинаковыми) и, в частности, правильные паркеты. Правильный паркет обладает таким свойством: при помощи параллельных переносов (сдвигов без вращений), которые переводят паркет в себя, можно совместить заранее выбранный узел с любым другим узлом паркета. На рис. 1 из условия изображены как раз правильные паркеты.

Рис. 9. «Дорога гигантов» (Северная Ирландия). Фото с сайта ru.wikipedia.org

Обобщение нашей задачи - замощение пространства - современный важный раздел кристаллографии, играющий важную роль в интегральной оптике и физике лазеров.

Как ни странно, до относительно недавних времен были известны только периодические замощения (которые полностью совмещаются с собой при некотором сдвиге и его повторениях). Однако в 1974 году английский ученый Роджер Пенроуз

Рис. 11. М. К. Эшер, «Рептилии», 1946 (слева ) и «Бабочки», 1950

Паркеты и мозаики встречаются и в изобразительном искусстве. Пожалуй, наиболее известны работы голландца М. К. Эшера (M. C. Escher).

Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа № 28».

Замощение плоскости в пространстве .

Научно-исследовательский реферат

Математика

ученицы 10 класса

Комарчевой Анны

Руководитель:

учитель математики Овсянкина О.А.

г. Мытищи

Введение…………………………………………………………………………3

Определение замощения плоскости……………………………………………..4

История появления замощения………………………………………………..5

Паркеты………………………………………………………………………......7

Непериодическое замощение Х. Фодерберга………………………………...10

Простейшее замощение……………………………………………………….11

Мозаика Роджера Пенроуза…………………………………………………..12

Свойства мозаики Пенроуза…………………………………………………..13

Сенсационное открытие……………………………………………………….14

Квазикристаллы……………………………………………………………….17

Структура квазикристаллов…………………………………………………….19

Свойства квазикристаллов…………………………………………………….21

Фуллерены и квазикристаллы………………………………………………...24

Морис Эшер…………………………………………………………………....26

Средневековые орнаменты……………………………………………………28

Структура гирихов……………………………………………………………..31

Заключение……………………………………………………………………..34

Введение

Актуальность реферата заключается в том, что замощение плоскости активно изучается в физике кристаллов, геометрии, а также встречается в повседневной жизни.

Еще древние художники создавали удивительные геометрические орнаменты. Для создания своих узоров они применяли не простые, случайно придуманные контуры, а фигуры, которые были расположены в определённом порядке. А самое удивительное, что люди снова встретились с ними позже. Древние узоры – не что иное, как то, что спустя столетия назовут решётками Пенроуза и найдут в структуре квазикристаллов!

А знаменитый голландский художник Морис Эшер (1898-1972), создавший знаменитые гравюры и мозаики, и никогда не понимавший математику, утверждал: «Все мои произведения - это игры. Серьезные игры». Однако в этих играх математики всего мира вот уже несколько десятилетий рассматривают абсолютно серьёзные, материальные доказательства идей, созданных с помощью исключительно математического аппарата.

Самое серьезное внимание проблеме замощения плоскости в пространстве стали уделять в последние пятьдесят лет, после открытий в физике кристаллов - твердых металлических сплавов. В кристаллографии поворотная симметрия 5-го порядка наиболее эффективно представлена в мире растений и в простейших живых организмах, в частности в некоторых разновидностях вирусов, в некоторых обитателях морей.

Определение замощения плоскости

Замощение - это покрытие всей плоскости неперекрывающимися фигурами.

Замощение - разбиение плоскости или пространства на фигуры без общих внутренних точек или покрытие всей плоскости неперекрывающимися фигурами.

Замощение плоскости можно представить в виде набора склеенных по границам фигур. Один из простейших примеров - так называемое гексагональное замощение, когда плоскость, как соты, составлена из шестиугольников, соединенных по сторонам. Замощение называется периодическим, если при сдвиге на некоторый вектор оно переходит в себя. В гексагональном случае это, например, вектор, соединяющий центры соседних шестиугольных ячеек.

История появления замощения

Вероятно, впервые интерес к замощению возник в связи с построением мозаик, орнаментов и других узоров. Известно много орнаментов, составленных из повторяющихся мотивов.

Уже пифагорейцам было известно, что имеется только три вида правильных многоугольников, которыми можно полностью замостить плоскость без пробелов и перекрытий, - треугольник, квадрат и шестиугольник.

Математическая проблема непериодичного замощения плоскости существует уже около полувека. Самое известное решение этой проблемы - мозаика Пенроуза , которая появилась в семидесятых годах прошлого века, и в которой используется всего две различные фигуры.

А первый набор плиток, состоящий из 20 426 фигур, представил в 1966 году математик Роберт Бергер. Через некоторое время он, впрочем, сумел сократить число необходимых плиток до 104.

Автору рассматриваемой работы для решения задачи хватило одной фигуры - правильного шестиугольника. При укладке таких плиток черные линии не должны прерываться, а флажки в вершинах шестиугольников, которые находятся на расстоянии, равном длине одной стороны плитки (на рисунке отмечены стрелками), должны смотреть в одну сторону.

Паркеты

В каждом из замощений, где используются квадрат, правильный треугольник и правильный шестиугольник любые два многоугольника имеют либо общую сторону, либо только общую вершину, либо вовсе не имеют общих точек. Замощения плоскости многоугольниками, удовлетворяющие этому требованию, называют паркетами .

Убедиться в том, что никакой другой правильный многоугольник паркета не образует, совсем просто. И здесь нам понадобится формула суммы углов многоугольника.

Если паркет составлен из n -угольников, то в каждой верши­не паркета будет сходиться k = 360°/ a n многоугольников, где n - угол правильного n -угольника. Легко найти, что a 3 = 60°, a 4 = 90°, a 5 = 108°, a 6 = 120° и 120° a n п > 7. Поэтому 360° делится нацело на a n только при п = 3; 4; 6.

Паркеты из правильных многоугольников сами правильные в том смысле, что они «одинаково устроены» относительно всех своих вершин и всех составляющих паркеты кусочков-многоугольников. (Эти кусочки называются гранями замощения или просто плитками.) Другими словами, для любых двух вершин правильного паркета можно указать такое его самосовмещение, при котором одна из вершин попадает на другую. То же верно для любых двух плиток паркета.

Можно потребовать, чтобы паркет был правильным только «по вершинам», но разрешить использовать разные виды правильных многоугольников. Тогда к трём исходным паркетам добавятся ещё восемь.

Рассматривают и другое обобщение - паркеты из копий произвольного многоугольника, правильные «по граням» (т. е. допускающие самосовмещения, которые переводят любую за­данную плитку в любую другую). Число таких паркетов - 46, включая и первые три. Многоугольники, которые могут быть плитками в этих паркетах, называются планигонами . Ясно, что плоскость можно уложить копиями произвольного треугольника, но менее очевидно, что произвольный четырёхугольник - планигон. То же верно и для любого шестиугольника, противоположные стороны которого равны и параллельны.

Все рассмотренные выше паркеты периодичны, т. е. в каждом из них можно выделить (и даже многими способами) составленную из нескольких плиток область, из которой параллельными сдвигами получается весь паркет. Интерес учёных к таким конструкциям объясняется тем, что периодические замощения, особенно замощения пространства, моделируют кристаллические структуры. Непериодическое замощение Х. Фодерберга Существуют и непериодические замощения, например, очень красивое спиральное замощение плоскости девятиугольниками, придуманное в 1936 г. немецким математиком X. Фодербергом. Впрочем, объединив эти плитки попарно в центрально-симметричные восьмиугольники, можно замостить ими плоскость и периодически. Долгое время предполагали, что не существует плиток и даже наборов из нескольких различных плиток, копии которых могли бы устилать плоскость только непериодически. Однако в середине 60-х гг. XX в. эта гипотеза была опровергнута, для чего понадобился набор из более чем 20 000 разных видов плиток. Шаг за шагом число плиток удавалось уменьшить, и, наконец, через десять лет английскому математику Роджеру Пенроузу удалось обойтись всего двумя очень простыми фигурками.

Простейшее замощение

Одно из простейших замощений можно описать так. Плоскость покрыта параллелограммами, причем все параллелограммы одинаковы. Любой параллелограмм этого замощения можно получить из первоначального параллелограмма, сдвигая его на вектор nU ± mV (векторы U и V определяются ребрами выделенного параллелограмма, n и m - целые числа). Следует отметить, что все замощение как целое переходит в себя при сдвиге на вектор U (или V). Это свойство можно взять в качестве определения: именно, периодическим замощением с периодами U и V назовем такое замощение, которое переходит в себя при сдвиге на вектор U и на вектор V.

Мозаика Роджера Пенроуза

Долгое время предполагали, что не существует плиток и даже наборов из нескольких различных плиток, копии которых могли бы устилать плоскость только непериодически. Однако в середине 60-х гг. XX века эта гипотеза была опровергнута, для чего понадобился набор из более чем 20 000 разных видов плиток. Шаг за шагом число плиток удавалось уменьшить, и, наконец, через десять лет английскому математику Роджеру Пенроузу удалось обойтись всего двумя очень простыми фигурками.

Английский математик Роджер Пенроуз придумал в 1973 году такую штуку – особенную мозаику из геометрических фигур. Называться она стала, соответственно, мозаикой Пенроуза. Чего же в ней такого специфического? Мозаика Пенроуза представляет собой узор, собранный из многоугольных плиток двух определённых форм (немного различающихся ромбов). Ими можно замостить бесконечную плоскость без пробелов.

Получающееся изображение выглядит так, будто является неким "ритмическим" орнаментом – картинкой, обладающей трансляционной симметрией. Такой тип симметрии означает, что в узоре можно выбрать определённый кусочек, который можно "копировать" на плоскости, а затем совмещать эти "дубликаты" друг с другом параллельным переносом (проще говоря, без поворота и без увеличения).

Однако, если присмотреться, можно увидеть, что в узоре Пенроуза нет таких повторяющихся структур – он апериодичен. Но дело отнюдь не в оптическом обмане, а в том, что мозаика не хаотична: она обладает вращательной симметрией пятого порядка. Это значит, что изображение можно поворачивать на минимальный угол, равный 360 / n градусам, где n –порядок симметрии, в данном случае n = 5. Следовательно, угол поворота, который ничего не меняет, должен быть кратен 360 / 5 = 72 градусам.

Мозаика Пенроуза обладает свойствами:

1. Отношение числа тонких ромбов к числу толстых оказывается всегда равно так называемому "золотому" числу 1,618...

2.Она не переходит в себя ни при каких сдвигах, т.е. не периодична

3.Обладает вращательной симметрией пятого порядка. Угол поворота кратен 360° / 5 = 72. Получившиеся узоры имеют квазикристалическую форму, которая имеет осевую симметрию 5-го порядка. Структура мозаики связна с последовательностью Фибоначчи .

Сенсационное открытие

Примерно десятилетие выдумка Роджера Пенроуза считалась не более чем милой математической абстракцией.

Позже учёные США и Израиля - Д. Шехтман, И. Блех, Д. Гратиас и Дж. Кан - сделали сенсационное открытие, обнаружив непериодическую структуру быстро охлаждённого сплава марганца и алюминия. Ранее считалось, что кристаллы имеют осевую симметрию лишь 1-го, 2-го, 3-го, 4-го и 6-го порядка. Иными словами, кристаллы, имеющие осевую симметрию 5-го порядка, находятся в состоянии плавного перехода между аморфными телами и периодическими кристаллами.

Предыдущие представления, существовавшие в физике твёрдого тела, исключали такую возможность: структура дифракционной картины обладает симметрией пятого порядка.

Её части нельзя совмещать параллельным переносом, а значит, это вовсе никакой не кристалл. Но дифракция характерна как раз для кристаллической решётки!

Как тут быть? Вопрос непростой, поэтому учёные договорились о том, что данный вариант будет назваться квазикристаллами – чем-то вроде особого состояния вещества. Таким образом, математический курьез стал моделью, описывающей внутреннее строение квазикристаллов.

Ну а вся красота открытия, в том, что для него уже давно готова математическая модель. Мозаика Пенроуза - великолепный пример того, как красивое построение, находящееся на стыке различных дисциплин, обязательно находит себе применение. Если узловые точки заменить атомами, мозаика Пенроуза станет хорошим аналогом двухмерного квазикристалла, так как имеет много свойств, характерных для такого
состояния вещества. И вот почему:

Во-первых, построение мозаики реализуется по определенному алгоритму, вследствие чего она оказывается не случайной, а упорядоченной структурой. Любая ее конечная часть встречается во всей мозаике бесчисленное множество раз.

Во-вторых, в мозаике можно выделить много правильных десятиугольников, имеющих совершенно одинаковые ориентации. Они создают дальний ориентационный порядок, названный квазипериодическим. Это означает, что между удаленными структурами мозаики существует взаимодействие, которое согласовывает расположение и относительную ориентацию ромбов вполне определенным, хотя и неоднозначным.
В-третьих, если последовательно закрасить все ромбы со сторонами, параллельными какому-либо выбранному направлению, то они образуют серию ломаных линий.

Вдоль этих ломаных линий можно провести прямые параллельные линии, отстоящие друг от друга приблизительно на одинаковом расстоянии. Благодаря этому свойству можно говорить о некоторой трансляционной симметрии в мозаике Пенроуза.

В-четвертых, последовательно закрашенные ромбы образуют пять семейств подобных параллельных линий, пересекающихся под углами, кратными 72°. Направления этих ломаных линий соответствуют направлениям сторон правильного пятиугольника. Поэтому мозаика Пенроуза имеет в какой-то степени поворотную симметрию 5-го порядка и в этом смысле подобна квазикристаллу.

Квазикристаллы

С давних пор, когда только зарождалась наука о твердых телах, было замечено, что все тела в природе можно разделить на два диаметрально противоположных класса: разупорядоченные аморфные тела, в которых полностью отсутствует закономерность во взаимном расположении атомов, и кристаллические тела, характеризующиеся их упорядоченным расположением. Такое разделение структуры твердых тел просуществовало почти до конца ХХ века, когда были открыты не совсем "правильные" кристаллические тела - квазикристаллы. Их стали рассматривать как промежуточные формы между аморфными и кристаллическими телами.

Квази (лат. quasi - как будто, будто бы) - приставка при различных словах, соответствующая по значению словам "мнимый", "ненастоящий", "якобы".

В 1984 году был обнаружен сплав алюминия с марганцем Al0,86Mn0,14 , образец которого, подвергнутый специальному методу быстрого охлаждения, рассеивал пучок электронов так, что на фотопластинке образовывалась ярко выраженная дифракционная картина с симметрией пятого порядка в расположении дифракционных максимумов (симметрия икосаэдра). Наличие резких дифракционных максимумов свидетельствовало о присутствии в структуре дальнего порядка в расположении атомов, характерного для кристаллов, поскольку это означает, что атомы в разных участках образца одинаково отражают пучок электронов. Однако симметрия наблюдавшейся дифракционной картины противоречила фундаментальным представлениям классической кристаллографии: такая симметрия физически невозможна для любых кристаллических веществ.

Дальнейшие исследования показали, что в новом материале реализуется новый тип порядка, некристаллический и неаморфный (для аморфного вещества характерно наличие ближнего атомного порядка - кристаллического порядка только в пределах нескольких межатомных расстояний). Поэтому данное вещество было названо квазикристаллом.

Некоторое время спустя были найдены другие металлические сплавы с дальним порядком, но имеющие оси симметрии седьмого, восьмого, десятого, двенадцатого и т.д. порядков, запрещенные для кристаллов. В связи с этим расширилось и понятие квазикристаллов: в настоящее время под квазикристаллами принято понимать твердые металлические сплавы с дальним порядком, дифракционные пики которых расположены с некристаллографической симметрией.

Структура квазикристаллов

Важную проблему физики квазикристаллов представляет их атомная структура. Их структуру можно понять с помощью математической теории замощения. Обычный кристалл представляет собой периодическую структуру из атомов или молекул. Любой кристаллической структуре присуща определенная симметрия. Кристаллы обладают дальним порядком двух типов, ориентационным и трансляционным. Трансляционный порядок означает возможность построить кристаллическую структуру путем трансляций элементарного строительного блока структуры с определенным расположением атомов на некоторый вектор элементарной ячейки кристалла. В таком случае говорят о существовании дальнего порядка в кристалле. Ориентационный порядок означает, что поворот кристалла вокруг определенной оси совмещает атомные позиции с самими собой. Кристаллы могут иметь вращательную симметрию третьего, четвертого или шестого порядка.

Например, если кристалл имеет ось симметрии третьего порядка, то его кристаллическая решетка не изменится после поворота на одну треть окружности. Структура элементарной ячейки большинства кристаллов основана на таких простых геометрических телах, как куб, тетраэдр и октаэдр. Структура квазикристаллов, таких, как сплав алюминия с марганцем, основана на другом геометрическом теле - икосаэдре. Икосаэдр - это многогранник, имеющий 20 граней, каждая из которых представляет собой равносторонний треугольник, 12 вершин и 30 ребер. Икосаэдр имеет симметрию пятого порядка: в каждой его вершине соединены пять граней. Икосаэдры невозможно упаковать так, чтобы они плотно, без зазоров, заполняли все пространство, поэтому они не могут служить элементарными ячейками кристаллов.

Элементы структуры квазикристалла из пяти тетраэдров: фрагмент икосаэдра (а), 32 - вершинник триаконтаэдр (6)

Икосаэдр (от греч. εικοσάς - двадцать; -εδρον - грань, лицо, основание) - правильный выпуклый многогранник, двадцатигранник, одно из Платоновых тел . Каждая из 20 граней представляет собой равносторонний треугольник . Число ребер равно 30, число вершин - 12.

Тетраэдр (греч. τετραεδρον - четырёхгранник) - многогранник с четырьмя треугольными гранями, в каждой из вершин которого сходятся по 3 грани.

Триаконтаэдр - (греч., от triaconta тридцать, и hedra основание). Тридцатигранник, т. е. тело, ограниченное 30-ю равными ромбическими плоскостями.

Свойства квазикристаллов

Квазикристаллы, как правило, сплавы металлических элементов. Но физические свойства квазикристаллов отличаются от свойств других металлических систем. Электросопротивление металлов увеличивается при возрастании температуры, концентрации примесей, структурных дефектов. Квазикристаллы не изоляторы и не полупроводники, но в отличие от металлов их электросопротивление при низких температурах аномально велико, уменьшается с ростом температуры и возрастает по мере увеличения структурного порядка и отжига дефектов (длительный нагрев, устраняющий дефекты). Интересная закономерность наблюдается у декагональных квазикристаллов. Это слоистые объекты: квазикристаллические плоскости упакованы вдоль оси десятого порядка с конечным периодом. Вдоль оси упаковки проводимость ведет себя как в нормальном металле, а в квазикристаллических плоскостях – по-другому.

Практически все квазикристаллические сплавы - диамагнетики. Исключение составляют сплавы с марганцем, являющиеся парамагнетиками.

Теория твердого тела прекрасно объясняет электронные свойства нормальных металлов и их сплавов. Отправным пунктом является периодичность кристаллической структуры. Однако теория еще не в состоянии объяснить, почему квазипериодичность является источником специфичного поведения свойств. Для ответа на этот вопрос необходима большая экспериментальная и теоретическая информация об электронном строении (электронном спектре) квазикристаллов.

В настоящее время открыто более 200 квазикристаллических сплавов, свойства которых активно исследуются. Каждый год появляются сообщения и о новых по составу квазикристаллах, и о новых вариантах структур, существование которых ранее нельзя было даже предположить.

На данный момент в большинстве синтезированных квазикристаллов обнаружены оси симметрии 5-го, 7-го, 8-го, 10-го, 12-го и еще более высоких порядков, запрещенные для идеальных кристаллов. Эти объекты пока не нашли практического применения, но их изучение расширяет наши представления о строении вещества. Вопрос о квазикристаллическом состоянии не ограничивается физикой твердого тела. Симметрийные свойства квазикристаллов обладают универсальностью. Это означает, что если какой-либо способ упаковки ячеек некоторой формы найден в твердом теле, то такой же способ упаковки "жидких ячеек"" может быть обнаружен в гидродинамических течениях, проблеме хаоса (в структуре фазовой плоскости динамической системы) и др. Поэтому в исследование квазикристаллов вовлечены физики, математики, кристаллографы и материаловеды. Однако вопрос о природе квазикристаллического состояния материи и объяснении свойств квазикристаллов все еще остается загадкой, которую преподнесла нам Природа.

Приведем интересный факт, замеченный исследователями. Строжайше запрещенная в кристаллографии поворотная симметрия 5-го порядка наиболее эффективно представлена в мире растений и в простейших живых организмах, в частности в некоторых разновидностях вирусов, в некоторых обитателях морей (морские звезды, морские ежи, колонии зеленых водорослей и др.) и в иных объектах, "строящих жизнь". Поворотная симметрия 5-го порядка характерна для многих полевых цветов (зверобой, незабудка, колокольчик и др.), для цветов плодово-ягодных растений (малина, калина, рябина, шиповник и др.), для цветов плодовых деревьев (вишня, груша, яблоня, мандарин и др.). Чешуйки у еловой шишки, зерна у подсолнуха или ячейки у ананаса также образуют некоторое квазирегулярное покрытие поверхности, в котором соседние ячейки организуются в хорошо различимые спирали и образуют структуру, близкую к квазикристаллам.

Как видим, поворотная симметрия 5-го порядка, играющая важную роль в квазикристаллах, наиболее ярко проявляется как бы в переходной области между статично неживым и податливо гибким живым миром природы. Изучение квазикристаллических объектов привело к целому ряду открытий и прикладных разработок. Структурное совершенство термодинамически стабильных квазикристаллов ставит их в один ряд с лучшими образцами обычных кристаллов. На их основе получают легкие и очень прочные стекла. Тонкие пленки и покрытия из квазикристаллов обладают очень низким коэффициентом трения. С использованием квазикристаллов создают композиционные материалы, например устойчивые к трению резины. Особо заманчивы их малая электро- и теплопроводность, высокая твердость, стойкость к коррозии и окислению, химическая инертность и нетоксичность. Сегодня уже получено немало перспективных квазикристаллов, о которых несколько десятилетий назад даже не мечтали. Одной из приоритетных задач является разработка методов синтеза по заданным параметрам, которая позволила бы заранее «программировать» физические свойства создаваемых материалов.

Неожиданное появление золотой пропорции в структуре квазикристаллов говорит о присутствии в их симметрии живого "мотива", так как в отличие от неживых кристаллов только живой мир допускает замечательные соотношения золотой пропорции. В природе квазикристаллов многое до сих пор не ясно. Кроме того, нет окончательно сформированных физических представлений об особенностях их строения, не получено физическое обоснование их прочностных, пластических, упругих, электрических, магнитных и других свойств. Несмотря на эти трудности, повышенный интерес ученых к загадке, которую им преподнесла природа в виде квазикристаллов, не ослабевает, и в дальнейшем, несомненно, еще не раз будут получены неожиданные результаты.

Фуллерены и квазикристаллы

Непосредственное отношение к строению квазикристаллов имеют и открытые в середине 1980-х годов так называемые фуллерены - неизвестная ранее форма объединения атомов углерода в практически сферические молекулы С n (n = 28, 54, 60, 70, 84, 120 …).Фуллерены - класс углеродных молекул, содержащих более 20 атомов. Их открытие усугубило «кристаллографическую катастрофу", вызванную открытием квазикристаллов. Наиболее изученный углеродный нанообъект - фуллерен С 60 . До этого считалось, что в свободном состоянии углерод может находиться в виде двух модификаций - алмаза и графита. Структура же молекулы С 60 представляет нечто иное. Это усеченный по вершинам икосаэдр, то есть один из 14 неправильных (или полуправильных) многогранников Архимеда, в котором шестиугольники связаны между собой пятиугольниками. Не вдаваясь в детальное рассмотрение этой фигуры, отметим, что подобная структура напоминает футбольный мяч, сшитый по традиции из черных пятиугольников и белых шестиугольников. Неудивительно, что такая молекула обладает икосаэдрической симметрией. Знакомство с фуллерена ми захватывает сразу, поражает их красота и соразмерность. Фуллерены, как и квазикристаллы, говорят об удивительной гармонии мира, о непрерывном единстве во всех его проявлениях. Интерес к фуллеренам возник, прежде всего, из-за их своеобразной структуры и симметрии, а также из-за возможности создавать на их основе материалы, находящие применение во множестве высоких технологий. В первую очередь они рассматриваются как перспективные материалы для электронной техники. Кроме того, на основе фуллеренов созданы сверхнизко- и сверхвысокотемпературные смазочные материалы и соединения, обладающие сверхпроводимостью, получены вещества, по твердости превосходящие алмаз (см. "Наука и жизнь" № 10, 1995 г.).

Название "фуллерены" дано новому классу модификаций углерода в честь американского архитектора Бакминстра Фуллера, разработавшего конструкцию сферических куполов. Одно из таких зданий было построено на международной выставке ЕХРО-67 в Монреале. Основной мотив постройки - повторяющиеся шестиугольные фрагменты, между которыми в определенных местах введены пятиугольные, придающие необходимую
кривизну объемной конструкции.

Первые фуллерены выделяли из конденсированных паров графита , получаемых при лазерном облучении твёрдых графитовых образцов. Фактически, это были следы вещества. Следующий важный шаг был сделан в 1990 году В. Кретчмером , Лэмбом, Д. Хаффманом и др., разработавшими метод получения граммовых количеств фуллеренов путём сжигания графитовых электродов в электрической дуге в атмосфере гелия при низких давлениях. В процессе эрозии анода на стенках камеры оседала сажа, содержащая некоторое количество фуллеренов. Впоследствии удалось подобрать оптимальные параметры испарения электродов (давление, состав атмосферы, ток, диаметр электродов), при которых достигается наибольший выход фуллеренов, составляющий в среднем 3-12 % материала анода, что, в конечном счёте, определяет высокую стоимость фуллеренов.

Морис Эшер

Исследуем более подробно работы Мориса Эшера на предмет описанных выше математических закономерностей. Эшер интересовался всеми видами мозаик - регулярными и нерегулярными (периодическими и квазипериодическими) - а также ввел собственный вид, который назвал «метаморфозами», где фигуры изменяются и взаимодействуют друг с другом, а иногда изменяют и саму плоскость. Этот вид мозаик был описан в предыдущей главе. Интересоваться мозаиками Эшер начал в 1936 году во время путешествия по Испании. Он провел много времени в Альгамбре, зарисовывая арабские мозаики, и впоследствии сказал, что это было для него «богатейшим источником вдохновения». Позже в своем эссе о мозаиках Эшер написал:

«В математических работах регулярное разбиение плоскости рассматривается теоретически…. Значит ли это, что данный вопрос является сугубо математическим? Математики открыли дверь, ведущую в другой мир, но сами войти в этот мир не решились. Их больше интересует путь, на котором стоит дверь, чем сад, лежащий за ней».

После того, как мы разобрались в способах создания периодических и квазипериодических замощений мы можем предположить, каким образом Морис Эшер создавал свои мозаики. При подробном рассмотрении и изучении мозаик Эшера можно предположить, что художник пользовался следующим очень интересным, но в, то, же время простым способом. Намечал правильный шестиугольник (известно, что эту фигуру можно использовать при создании периодической мозаики). После этого он искривлял три смежные стороны шестиугольника, придавая им необходимый контур и, с помощью параллельного переноса, отображал эти стороны на противолежащие.

Таким образом, мастер добивался того, что мозаику всё ещё можно было составить из полученной фигуры. После этого он изменял фигуру изнутри. Художник разбивал на шесть равных треугольников. В каждом треугольнике были изменены боковые ребра таким образом, что в сочетании с измененной стороной шестиугольника (основанием треугольника), они образовывали контур необходимого животного. В нашем случае получились «рыбки». Применив способ, описанный выше, он получал готовое к печати изображение. В доказательство справедливости вышеописанного способа можно привести нечеткие линии предварительной разметки, сохранившиеся на некоторых отпечатках гравюр мастера. Эти линии в точности повторяют рисунок, который должен получиться при выполнении первых этапов предполагаемого нами способа.

Руководствуясь вышеизложенными соображениями, можно разделить весь массив «мозаичных» работ на два фундаментальных класса. Первый - периодические работы и второй - квазипериодические.

Сам Морис Эшер , как многие гении и до и после него, утверждал: «Все мои произведения - это игры. Серьезные игры». Однако в этих играх математики всего мира вот уже несколько десятилетий рассматривают абсолютно серьёзные, материальные доказательства идей, созданных с помощью исключительно математического аппарата. Периодические замощения могут быть и весьма замысловатыми, некоторые из них очень красивы. Примером может служить периодическое замощение, придуманное Морисом Эшером («Всадники»).

Средневековые орнаменты

В 2007 году Питер Лу, физик из Гарварда, вместе с другим физиком - Полом Стейнхардтом, но из Принстона, - опубликовал в Science статью, посвящённую мозаикам Пенроуза. Казалось бы, неожиданного тут немного: открытие квазикристаллов привлекло живой интерес к данной теме, что привело к появлению кучи публикаций в научной прессе. Однако изюминка работы в том, что она посвящена далеко не современной науке. Да и вообще - не науке. Лу обратил внимание на узоры, покрывающие мечети в Азии, построенные ещё в Средневековье. Эти легко узнаваемые рисунки сделаны из мозаичной плитки. Они называются гирихи. Гирих - геометрический орнамент в виде комбинации полигональных и звездчатых фигур, характерный для средневекового искусства Средней и Центральной Азии. Гирих – в переводе с персидского узел, сложный геометрический узор, построенный линиями в различные геометрические фигуры (звезды, прямоугольники, ромбы и др.).

Долгое время считалось, что эти узоры создавались с помощью линейки и циркуля. Однако пару лет назад, находясь во время путешествия в Узбекистане, Лу заинтересовался узорами мозаик, украшавшими местную средневековую архитектуру, и приметил в них что-то знакомое. Вернувшись в Гарвард, учёный стал рассматривать аналогичные мотивы в мозаиках на стенах средневековых построек Афганистана, Ирана, Ирака и Турции.

Этот образец датирован более поздним периодом – 1622 год (индийская мечеть). Глядя на него и прорисовку его структуры, нельзя не восхититься трудолюбию исследователей. И, конечно же, самих мастеров.

Питер Лу обнаружил, что эти схемы практически одинаковы, и смог выделить основные элементы гирихов, использовавшихся во всех геометрических орнаментах. Кроме того, он нашёл чертежи этих изображений в старинных манускриптах, которыми древние художники пользовались в качестве своеобразной шпаргалки по украшению стен.

Но это всё, оказывается, не так уж важно. Для создания этих узоров применяли не простые, случайно придуманные контуры, а фигуры, которые были расположены в определённом порядке. И это не особенно удивительно. А действительно интересно то, что, забыв про подобные схемы, люди снова встретились с ними позже.

Да-да, древние узоры – не что иное, как то, что спустя столетия назовут решётками Пенроуза и найдут в структуре квазикристаллов!

В исламской традиции существовал строгий запрет на изображение людей и животных, поэтому в оформлении зданий большую популярность приобрёл геометрический орнамент. Средневековые мастера умудрялись как-то делать его разнообразным. Но в чём был секрет их "стратегии" – никто не знал. Так вот, секрет как раз оказывается в использовании специальных мозаик, которые могут, оставаясь симметричными, заполнять плоскость, не повторяясь. Другой "фокус" этих изображений в том, что, "копируя" такие схемы в различных храмах по чертежам, художники неизбежно должны были бы допустить искажения. Но нарушения данного характера минимальны. Объясняется это только тем, что в масштабных чертежах смысла не была: главное – принцип, по которому строить картину. Структура гирихов Для сборки гирихов применяли плитки пяти видов (десяти- и пятиугольные ромбы и "бабочки"), которые в мозаике составлялись, прилегая друг к другу без свободного пространства между ними. Мозаики, созданные из них, могли обладать как сразу вращательной и трансляционной симметрией, так и только вращательной симметрией пятого порядка (то есть являлись мозаиками Пенроуза). На этих снимках выделены одинаковые области, хотя это и фотографии из самых разных мечетей.

Фрагмент орнамента иранского мавзолея 1304 года. Справа – реконструкция гирихов.

Исследовав сотни фотографий средневековых мусульманских достопримечательностей, Лу со Стейнхардтом смогли датировать появление подобной тенденции XIII веком. Портал святилища имама Дарби в Исфахане Иран). Здесь друг на друга наложены сразу две системы гирихов. Постепенно этот способ приобретал всё большую популярность и к XV веку стал широко распространённым. Образцом почти идеальной квазикристаллической структуры исследователи посчитали святилище имама Дарби в иранском городе Исфахане, датируемое 1453 годом. Это открытие впечатлило очень многих. Американская ассоциация содействия развитию науки на радостях подготовила по этому случаю пресс-релизы, посвящённые исследованию, даже на персидском , арабском и турецком языках (видимо, в качестве "дани" за вдохновение).

Правда, доктор Эмиль Маковицкий из Копенгагенского университета посчитал своим долгом пожурить исследователей за то, что они недостаточно уделили внимания его статье 1991 года, в которой он исследовал узор на одной иранской гробнице XII века. Вскоре к этой критике присоединилась ещё пара учёных - из Technion и из университета Дюка, сказав, правда, что работа Стейнхардта и Лу представляет собой "интересную гипотезу".

Пол Стейнхардт честно парировал замечание, сказав, что он с коллегой работал не над одним образцом, а над большим количеством разнообразного материала. К счастью, до академической ссоры дело не дошло, а исследование получило хоть какое-то признание в научном мире.

И всё же самый таинственный вопрос – о том, как средневековые арабы могли додуматься до квазикристаллических структур, которые известны нам менее трёх десятилетий, - так и остаётся без ответа.

Может ли это быть доказательством огромной роли математики в средневековом исламском искусстве, или это просто был наиболее простой способ «сборки» авторами своих произведений – сейчас узнать уже невозможно.

«Мы не можем с уверенностью сказать, что означает всё это искусство, - признался Питер Лу. - Однако кажется невероятным, что выбор такой тактики – дело простой случайности». В любом случае это открытие может быть свидетельством того, что искусство, которому не придают большого значения, оказалось куда более «продвинутым», чем мы могли предположить.

Заключение

Замощение – самая изучаемая область в физике квазикристаллов. Практически все известные на данный момент квазикристаллы - это металлические сплавы, но их свойства сильно отличаются от свойств исходных металлов. Отметим, например, необычайно высокое электрическое сопротивление при низких температурах и его падение при повышении температуры. «Традиционные» металлы ведут себя прямо противоположным образом. Эпоха массового использования квазикристаллов, очевидно, впереди, не некоторые контуры уже можно обозначить. Возможно их применение в подшипниках скольжения - при низком коэффициенте трения квазикристаллические сплавы обладают высоким запасом прочности. Заманчиво выглядит высокопрочное антипригарное покрытие, высокотемпературные сверхпроводники, высокопрочные материалы, сверхтонкие покрытия, сверхмелкодисперсные порошки и абразивы на квазикристаллической основе. Многие свойства этого класса веществ еще предстоит изучить. Одной из приоритетных задач является разработка методов синтеза по заданным параметрам, которая позволила бы заранее «программировать» физические свойства создаваемых материалов. Открытие квазикристаллов пошатнуло устои кристаллографии, многие положения которой за последнюю четверть века пришлось пересмотреть. В обобщенном представлении о кристалле на замену понятию «элементарной ячейки» - условной наименьшей структурной единицы кристалла - пришло понятие «дальнего порядка».Физики сравнивают значимость открытия квазикристаллов для кристаллографии с открытием иррациональных чисел в математике. В настоящее время не без помощи замощения было открыто более 200 квазикристаллических сплавов, свойства которых активно исследуются.

Эти объекты пока не нашли практического применения, но их изучение расширяет наши представления о строении вещества.

Вопрос о квазикристаллическом состоянии не ограничивается физикой твердого тела. Симметрийные свойства квазикристаллов обладают универсальностью. Это означает, что если какой-либо способ упаковки ячеек некоторой формы найден в твердом теле, то такой же способ упаковки "жидких ячеек"" может быть обнаружен в гидродинамических течениях, проблеме хаоса (в структуре фазовой плоскости динамической системы) и др. Поэтому в исследование квазикристаллов вовлечены физики, математики, кристаллографы и материаловеды. Однако вопрос о природе квазикристаллического состояния материи и объяснении свойств квазикристаллов все еще остается загадкой. Квазикристаллы разрушили традиционное представление о непреодолимом водоразделе между миром минералов, в котором «пентагональная» симметрия была запрещена, и миром живой природы, где «пентагональная» симметрия является одной из наиболее распространенных. И не следует забывать, что главной пропорцией икосаэдра является «золотая пропорция». И открытие квазикристаллов является еще одним научным подтверждением, что, возможно, именно «золотая пропорция», проявляющая себя как в мире живой природы, так и в мире минералов, является главной пропорцией.

Чтобы исследовать и описать объём, люди пользуются способом проецирования объёмного тела на плоскости. Это выглядит примерно так:

Зная, как выглядят проекции, можно распознать, исследовать, сконструировать истинный трёхмерный объект.

Это и есть метод исследования, распространённый в классической кристаллографии. Исследователи изучают сначала одну проекцию или плоскость, «мостя её» просчитанными элементами плотно как паркет, и изучают при этом симметрию и другие особенности в замощённой плоскости.

Затем заполняют этими плоскостями весь трёхмерный объём, как книги заполняют кубическую упаковочную коробку. Этот метод так и называется – метод замощения.

Интерес к замощению возник в связи с построением мозаик, орнаментов и других узоров, основанных на правильных многогранниках: треугольниках, квадратах и шестигранниках.

Замостить плоскость из правильного пятиугольника или пентагона никогда не удавалось. Он оставляет прорехи – незаполненные щели. И поэтому, в классической кристаллографии пентагональная симметрия считается по сегодняшний день запрещённой.

И, наконец, такой способ был найден.

В 1976 году английский ученый математик Роджер Пенроуз, активно работающий в различных областях математики, общей теории относительности и квантовой теории, дал математическое описание, названной в честь него «мозаики Пенроуза».

Она позволила с помощью всего лишь двух плиток весьма простой формы замостить бесконечную плоскость никогда не повторяющимся узором.

Чтобы понять математическую сущность “ромбов Пенроуза”, обратимся к пентаграмме.

В своей простейшей форме “плитки Пенроуза” представляют собой набор ромбовидных фигур двух типов, одни с внутренним углом 36°, другие – 72°. Каждый состоит из двух треугольников, которые заполняют соответствующую модель пентаграммы.

Соотношения элементов пентаграммы полностью отражают золотую пропорцию Фибоначчи. Ее основой является иррациональное число = 1,6180339…

Идея Пенроуза о плотном заполнении плоскости с помощью “золотых” ромбов была трансформирована на трехмерное пространство.

При этом роль “ромбов Пенроуза” в новых пространственных структурах могут играть икосаэдры и додекаэдры.

Это была красивая находка, всего одна из многочисленных придумок светлого и цепкого ума Роджера Пенроуза, который увлекается пространственными парадоксами. Здесь присутствует его безукоризненое понимание золотой пропорции Фибоначчи, что приблизило его исследование к искусству.

И именно это послужило базой для дальнейших исследований и открытия квазикристаллов в химических лабораториях и новому, более творческому пониманию трёхмерного пространства, как для науки,так и для искусства.

Одной из ярких примеров творческого исследования, привлекших моё внимание, стала молодая словенская художница Матюшка Тейя Крашек.

Она получила степень бакалавра живописи в Колледже визуальных искусств (Любляна, Словения). Ее теоретическая и практическая работа фокусируется на симметрии как связующей концепции между искусством и наукой.

Ее художественные работы представлялись на многих международных выставках и опубликованы в международных журналах.

М.Т. Крашек на своей выставке ‘Kaleidoscopic Fragrances’, Любляна, 2005

Художественное творчество Матюшки Тейи Крашек связано с различными видами симметрии, плитками и ромбами Пенроуза, квазикристаллами, золотым сечением как главным элементом симметрии, числами Фибоначчи и др.

С помощью рефлексии, воображения и интуиции она пытается подобрать новые отношения, новые уровни структуры, новые и различные виды порядка в этих элементах и структурах.

В своих работах она широко использует компьютерную графику как весьма полезное средство для создания художественных работ, которое является связующим звеном между наукой, математикой и искусством.

Если мы выберем одно из чисел Фибоначчи (например, 21 см) для длины стороны ромба Пенроуза в этой ощутимо нестабильной композиции, мы можем наблюдать, как длины некоторых отрезков в композиции образуют последовательность Фибоначчи.

Большое количество художественных композиций художницы посвящено квазикристаллам Шехтмана и решеткам Пенроуза.

В этих удивительных композициях проявления круговой симметрии можно наблюдать отношения между ромбами Пенроуза:

каждые два соседних ромба Пенроуза образуют пентагональную звезду. Можно заметить Декагон, образованный ребрами 10 смежных ромбов Пенроуза, создающий новый правильный многогранник.

И на последнем рисунке бесконечное взаимодействие ромбов Пенроуза – пентаграммы, пятиугольники, уменьшающиеся к центральной точке композиции. Отношения золотой пропорции представлены многими различными способами в различных шкалах.

Художественные композиции Матюшки Тейи Крашек привлекли огромное внимание представителей науки и искусства.

Мозаика Пенроуза – великолепный пример того, как красивое построение, находящееся на стыке различных дисциплин, обязательно находит себе применение.

M =\langle \Sigma, Q, \Pi, B \in \Pi, s,\delta: Q \times \Pi \rightarrow Q \times \Pi \times \{ \leftarrow, \downarrow, \rightarrow \} \rangle и слово w \in \Sigma^* . Требуется определить, остановится ли данная МТ на входе w .

Для того, чтобы доказать неразрешимость задачи о замощении, для заданной машины Тьюринга M и слова w построим набор полимино, которым можно замостить четверть плоскости, если МТ не остановится на заданном слове. Если же МТ останавливается, то четверть плоскости полученным набором замостить невозможно.

Будем эмулировать процесс выполнения МТ на входе w \in \Sigma^* путем построения вертикальных рядов, каждый из которых эквивалентен конфигурации МТ на определенном этапе выполнения. Первый ряд эквивалентен начальной конфигурации МТ, а каждый следующий ряд соответствует следующей конфигурации. Говоря простым языком, каждый ряд представляет из себя "снимок" состояния машины на соответствующем этапе выполнения.

На рисунке сверху изображены два вертикальных ряда полимино. Первый ряд соответствует МТ и слову w . Первое полимино соответствует паре из первого символа и начального состояния, все остальные - символам из w . Во втором ряду второе полимино соответствует паре из символа w и состояния q . То есть МТ сделала переход \delta (s, w) = \langle q, w, \rightarrow \rangle .

Теперь на основе заданной МТ будем строить набор полимино, которые будут иметь следующий вид:

На каждой стороне такого полимино находится определенное число выступов/впадин. Каждому символу из алфавита, состоянию и паре из состояния и символа сопоставим некоторое уникальное число (можно ограничить k \leqslant |\Pi| + |Q| + |\Pi \times Q| + 1 ) – это и будет количество выступов/впадин, находящихся на одной стороне полимино.

Сначала построим набор полимино, который задаёт начальную конфигурацию:

где *i – уникальное число для каждой смежной пары полимино из начальной конфигурации. Первое полимино характеризует начальное состояние, последующие за ним кодируют входное слово, и завершающее полимино требуется для корректного замощения оставшейся части ряда.

В нем количество впадин слева равно количеству выступов справа. Такой тип полимино передает содержимое ленты МТ следующему ряду.

Теперь построим полимино для функции перехода \delta (q, c) = \langle p, d, D \rangle , где q \in Q, p \in Q, c \in \Pi, d \in \Pi, D\in \{\leftarrow, \downarrow, \rightarrow \} :

На рисунке изображены (снизу вверх) полимино соответствующие значениям D = \{\leftarrow, \downarrow, \rightarrow \} . Вместе со следующим типом они эмулируют перемещение головки МТ.

Эти полимино получают на вход символ алфавита c от предыдущего ряда и состояние p от соседнего полимино, а затем передает следующему ряду пару из состояния и символа.

Построим последний тип полимино, характеризующих состояния \#_Y и \#_N :

Такое полимино имеет уникальное число выступов справа. Ни одно другое полимино из полученного набора не сможет к нему присоединиться, и процесс дальнейшего замощения будет невозможен.

Полученный алгоритм сведения получает на вход МТ и слово, а на выход выдает соответствующий им набор полимино.

Таким образом, четверть плоскости можно замостить тогда и только тогда, когда закодированная МТ не останавливается на данном входе. Иными словами, есть бесконечное количество конфигураций, не переходящих в конечное состояние. Это значит, что мы сможем замощать плоскость ряд за рядом бесконечное количество раз, что в результате замостит плоскость.

Если же МТ остановится, то и замостить четверть плоскости мы не сможем из-за того, что конечное полимино не имеет продолжения. Значит задача о замощении полимино не разрешима.