Aritmeetilise progressiooni summa. Lõpliku aritmeetilise progressiooni liikmete summa valem saab tuttavaks funktsioonide ja tuletistega

ARVUJÄRJANDUSED VI

§ 144. Aritmeetilise progressiooni liikmete summa

Nad ütlevad, et ühel päeval andis algklassiõpetaja, kes tahtis klassi pikka aega iseseisva tööga hõivatud hoida, lastele "raske" ülesande - arvutada kõigi naturaalarvude summa vahemikus 1 kuni 100:

1 + 2 + 3 + 4 + ... + 100.

Üks õpilastest pakkus kohe välja lahenduse. Siin see on.:

1+2 +3+... + 98 +99+ 100 = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + ... +(49 + 52)+ (50 + 51) =
= 101 + 101 + . . . + 101 + 101 = 101 50 = 5050.
50 korda

See oli Carl Gauss, kellest sai hiljem üks kuulsamaid matemaatikuid maailmas*.

*Sarnane juhtum Gaussiga juhtus tegelikult. Siin on see aga oluliselt lihtsustatud. Õpetaja pakutud arvud olid viiekohalised ja moodustasid aritmeetilise progressiooni kolmekohalise vahega.

Sellise lahenduse ideed saab kasutada mis tahes aritmeetilise progressiooni liikmete summa leidmiseks.

Lemma. Lõpliku aritmeetilise progressiooni kahe liikme summa, mis asuvad otstest võrdsel kaugusel, on võrdne äärmuslike liikmete summaga.

Näiteks lõplikus aritmeetilises progressioonis

1, 2, 3.....98, 99, 100

terminid 2 ja 99, 3 ja 98, 4 ja 97 jne on selle progressiooni otstest võrdsel kaugusel. Seetõttu on nende summad 2 + 99, 3 + 98, 4 + 97 võrdsed äärmuslike liikmete 1 + 100 summaga.

Lemma tõestus. Sisestage lõplik aritmeetiline progressioon

a 1 , a 2 , ..., a n - 1 , a n

mis tahes kaks liiget on otstest võrdsel kaugusel. Oletame, et üks neist on k th termin vasakul, see tähendab a k , ja see teine ​​- k th termin paremal, see tähendab a n -k+ 1 . Siis

a k + a n -k+ 1 =[a 1 + (k - 1)d ] + [a 1 + (p - k )d ] = 2a 1 + (n - 1)d .

Selle progresseerumise äärmuslike liikmete summa on võrdne

a 1 + a n = a 1 + [a 1 + (n - 1)d ] = 2a 1 + (n - 1)d .

Seega

a k + a n -k+ 1 = a 1 + a n

Q.E.D.

Tõestatud lemmat kasutades on lihtne saada summa üldvalem P mis tahes aritmeetilise progressiooni liikmed.

S n = a 1 +a 2 + ...+ a n - 1 + a n

S n = a n + a n - 1 + ... + a 2 + a 1 .

Lisades need kaks võrdsust termini kaupa, saame:

2S n = (a 1 +a n ) + (a 2 +a n - 1)+...+(a n - 1 +a 2) + (a n +a 1)

a 1 +a n = a 2 +a n - 1 = a 3 +a n - 2 =... .

2S n = n (a 1 +a n ),

Lõpliku aritmeetilise progressiooni liikmete summa võrdub poole äärmiste liikmete summa ja kõigi liikmete arvu korrutisega.

Eriti,

Harjutused

971. Leia kõigi paaritute kolmekohaliste arvude summa.

972. Mitu lööki lööb kell päeva jooksul, kui see heliseb ainult tervete tundide arvu?

973. Mis on esimese summa P naturaalarvude arvud?

974. Tuletage keha ühtlaselt kiirendatud liikumisel läbitud tee pikkuse valem:

Kus v 0 - algkiirus sisse m/sek , A - kiirendus sisse m/sek 2 , t - reisiaeg sisse sek.

975. Leia kõigi positiivsete täisarvude vahel nimetajaga 3 olevate taandamatute murdude summa T Ja P (T< п ).

976. Tööline hooldab 16 automaatkangast. Iga masina tootlikkus A m/h. Töötaja lülitas esimese masina sisse kell 7 h ja iga järgmine 5 kaupa min hiljem kui eelmine. Uurige toodangut meetrites esimese 2 jaoks h tööd.

977. Lahenda võrrandid:

a) 1 + 7 + 13 + ... + X = 280;

b) ( X + 1) + (X + 4) + (X + 7) +...+ (X + 28) = 155

978. 1. juulist 12. juulini kaasa arvatud tõusis õhutemperatuur ööpäevas keskmiselt 1/2 kraadi võrra. Teades, et selle aja keskmiseks temperatuuriks osutus 18 3/4 kraadi, tehke kindlaks, milline oli õhutemperatuur 1. juulil.

979. Leia aritmeetiline progressioon, mille aritmeetiline keskmine on P esimesed tingimused mis tahes jaoks P võrdne nende arvuga.

980. Leidke aritmeetilise progressiooni kahekümne esimese liikme summa, milles

a 6 + a 9 + a 12 + a 15 = 20.

Aritmeetilise progressiooni summa.

Aritmeetilise progressiooni summa on lihtne asi. Nii tähenduses kui valemis. Aga sellel teemal on igasuguseid ülesandeid. Põhilisest kuni üsna soliidseni.

Esiteks mõistame summa tähendust ja valemit. Ja siis me otsustame. Enda rõõmuks.) Summa tähendus on lihtne kui moo. Aritmeetilise progressiooni summa leidmiseks peate lihtsalt hoolikalt lisama kõik selle tingimused. Kui neid termineid on vähe, saate lisada ilma valemiteta. Aga kui on palju, või palju... lisamine on tüütu.) Sel juhul tuleb appi valem.

Summa valem on lihtne:

Mõelgem välja, millised tähed valemis sisalduvad. See selgitab asju palju.

S n - aritmeetilise progressiooni summa. Lisamise tulemus kõik liikmed, koos esiteks Kõrval viimane. See on tähtis. Need lähevad täpselt kokku Kõik liikmeid järjest, ilma vahele jätmata. Ja täpselt, alustades esiteks. Selliste probleemide korral nagu kolmanda ja kaheksanda liikme summa või viienda kuni kahekümnenda liikme summa leidmine valmistab valemi otsene rakendamine pettumuse.)

a 1 - esiteks progressi liige. Siin on kõik selge, see on lihtne esiteks rea number.

a n- viimane progressi liige. Sarja viimane number. Pole just väga tuttav nimi, aga kogusele kandes sobib väga hästi. Siis näete ise.

n - viimase liikme number. Oluline on mõista, et valemis see arv ühtib lisatud terminite arvuga.

Määratleme mõiste viimane liige a n. Keeruline küsimus: milline liige saab viimane kui antakse lõputu aritmeetiline progressioon?)

Enesekindlaks vastamiseks peate mõistma aritmeetilise progressiooni elementaarset tähendust ja... lugege ülesanne hoolikalt läbi!)

Aritmeetilise progressiooni summa leidmise ülesandes ilmub alati (otseselt või kaudselt) viimane liige, mida tuleks piirata. Muidu lõplik, konkreetne summa lihtsalt ei eksisteeri. Lahenduse jaoks pole vahet, kas progressioon on antud: lõplik või lõpmatu. Pole tähtis, kuidas see antakse: arvude jada või n-nda liikme valem.

Kõige tähtsam on mõista, et valem toimib progressiooni esimesest liikmest numbriga liikmeni n. Tegelikult näeb valemi täisnimi välja selline: aritmeetilise progressiooni esimese n liikme summa. Nende päris esimeste liikmete arv, s.o. n, määrab ainult ülesanne. Ülesandes on kogu see väärtuslik teave sageli krüpteeritud, jah... Kuid ärge unustage, allolevates näidetes avaldame need saladused.)

Näited ülesannetest aritmeetilise progressiooni summa kohta.

Esiteks kasulik teave:

Aritmeetilise progressiooni summat hõlmavate ülesannete peamine raskus seisneb valemi elementide õiges määramises.

Ülesande kirjutajad krüpteerivad piiritu fantaasiaga just need elemendid.) Peaasi, et siin ei pea kartma. Elementide olemuse mõistmisel piisab nende lihtsalt dešifreerimisest. Vaatame mõnda näidet üksikasjalikumalt. Alustame ülesandega, mis põhineb tõelisel GIA-l.

1. Aritmeetilise progressiooni annab tingimus: a n = 2n-3,5. Leidke selle esimese 10 liikme summa.

Tubli töö. Lihtne.) Mida peame teadma summa määramiseks valemi abil? Esimene liige a 1, viimane ametiaeg a n, jah viimase liikme number n.

Kust ma saan viimase liikme numbri? n? Jah, just seal, tingimusel! See ütleb: leidke summa esimesed 10 liiget. No mis numbriga see tuleb? viimane, kümnes liige?) Te ei usu seda, tema number on kümnes!) Seetõttu selle asemel a n Asendame valemiga a 10, ja selle asemel n- kümme. Kordan, viimase liikme arv langeb kokku liikmete arvuga.

Jääb kindlaks teha a 1 Ja a 10. Seda on lihtne arvutada n-nda liikme valemi abil, mis on toodud ülesande avalduses. Ei tea, kuidas seda teha? Osalege eelmises õppetunnis, ilma selleta pole võimalust.

a 1= 2 1 - 3,5 = -1,5

a 10=2·10 - 3,5 =16,5

S n = S 10.

Oleme välja selgitanud aritmeetilise progressiooni summa valemi kõigi elementide tähenduse. Jääb vaid need asendada ja lugeda:

See on kõik. Vastus: 75.

Teine ülesanne, mis põhineb GIA-l. Natuke keerulisem:

2. Antud aritmeetiline progressioon (a n), mille erinevus on 3,7; a 1 = 2,3. Leidke selle esimese 15 liikme summa.

Kirjutame kohe summa valemi:

See valem võimaldab meil leida mis tahes termini väärtuse selle numbri järgi. Otsime lihtsat asendust:

a 15 = 2,3 + (15-1) 3,7 = 54,1

Jääb kõik elemendid asendada aritmeetilise progressiooni summa valemis ja arvutada vastus:

Vastus: 423.

Muide, kui summa valemis asemel a n Asendame lihtsalt valemi n-nda liikmega ja saame:

Esitame sarnased ja saame aritmeetilise progressiooni liikmete summa jaoks uue valemi:

Nagu näete, pole siin n-ndat liiget vaja a n. Mõnes probleemis aitab see valem palju, jah... Selle valemi võib meeles pidada. Või saate selle lihtsalt õigel ajal kuvada, nagu siin. Lõppude lõpuks peate alati meeles pidama summa valemit ja n-nda liikme valemit.)

Nüüd ülesanne lühikese krüptimise vormis):

3. Leidke kõigi positiivsete kahekohaliste arvude summa, mis on kolmekordsed.

Vau! Ei teie esimene liige, ei viimane ega üldse edasiminek... Kuidas elada!?

Peate mõtlema oma peaga ja tõmbama tingimusest välja kõik aritmeetilise progressiooni summa elemendid. Me teame, mis on kahekohalised arvud. Need koosnevad kahest numbrist.) Millisest kahekohalisest numbrist saab esiteks? 10, arvatavasti.) A viimane asi kahekohaline number? 99 muidugi! Kolmekohalised tulevad talle järele...

Kolmekordsed... Hm... Need on arvud, mis jaguvad kolmega, siin! Kümme ei jagu kolmega, 11 ei jagu... 12... jagub! Niisiis, midagi on ilmnemas. Saate juba vastavalt ülesande tingimustele seeria üles kirjutada:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

Kas see seeria on aritmeetiline progressioon? Kindlasti! Iga termin erineb eelmisest rangelt kolme võrra. Kui lisada terminile 2 või 4, siis ütleme, et tulemus, s.t. uus arv ei jagu enam 3-ga. Saate kohe määrata aritmeetilise progressiooni erinevuse: d = 3. See tuleb kasuks!)

Seega võime julgelt üles kirjutada mõned edenemise parameetrid:

Mis numbriks saab? n viimane liige? Kes arvab, et 99, see saatuslikult eksib... Numbrid lähevad alati järjest, aga meie liikmed hüppavad üle kolme. Need ei sobi kokku.

Siin on kaks lahendust. Üks võimalus on ülitöökatele. Saate üles kirjutada edenemise, kogu arvude jada ja lugeda sõrmega liikmete arvu.) Teine võimalus on mõeldud mõtlikule. Peate meeles pidama n-nda liikme valemit. Kui rakendame valemit oma probleemile, leiame, et 99 on progressiooni kolmekümnes liige. Need. n = 30.

Vaatame aritmeetilise progressiooni summa valemit:

Vaatame ja rõõmustame.) Tõmbasime probleemipüstitusest välja kõik vajaliku summa arvutamiseks:

a 1= 12.

a 30= 99.

S n = S 30.

Jääb vaid elementaarne aritmeetika. Asendame arvud valemis ja arvutame:

Vastus: 1665

Teine populaarsete mõistatuste tüüp:

4. Antud aritmeetiline progressioon:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

Leidke terminite summa kahekümnendast kuni kolmekümne neljani.

Vaatame summa valemit ja... ärritume.) Valem, tuletan meelde, arvutab summa esimesest liige. Ja ülesandes peate arvutama summa alates kahekümnendast... Valem ei tööta.

Muidugi võite kogu edenemise seeriana välja kirjutada ja lisada termineid vahemikus 20 kuni 34. Aga... see on kuidagi rumal ja võtab kaua aega, eks?)

On elegantsem lahendus. Jagame oma sarja kaheks osaks. Esimene osa saab olema esimesest ametiajast kuni üheksateistkümnendani. Teine osa - kahekümnest kolmekümne neljani. On selge, et kui arvutame esimese osa tingimuste summa S 1-19, liidame selle teise osa tingimuste summaga S 20-34, saame esimesest liikmest kolmekümne neljandani progressiooni summa S 1-34. Nagu nii:

S 1-19 + S 20-34 = S 1-34

Sellest näeme, et leia summa S 20-34 saab teha lihtsa lahutamise teel

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19

Arvesse võetakse mõlemad paremal pool olevad summad esimesest liige, s.o. standardsumma valem on neile üsna rakendatav. Alustame?

Protsessi parameetrid eraldame probleemiavaldusest:

d = 1,5.

a 1= -21,5.

Esimese 19 ja esimese 34 liikme summade arvutamiseks vajame 19. ja 34. liiget. Arvutame need n-nda liikme valemi abil, nagu ülesandes 2:

a 19= -21,5 +(19-1) 1,5 = 5,5

a 34= -21,5 +(34-1) 1,5 = 28

Ei jää midagi järele. 34 termini summast lahutage 19 termini summa:

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5

Vastus: 262,5

Üks oluline märkus! Selle probleemi lahendamiseks on väga kasulik nipp. Otsese arvutamise asemel mida vajate (S 20-34), me loendasime midagi, mida justkui poleks vaja – S 1-19. Ja siis nad otsustasid S 20-34, jättes kogu tulemusest ebavajaliku kõrvale. Selline "kõrvade petmine" päästab teid sageli kurjadest probleemidest.)

Selles tunnis vaatlesime ülesandeid, mille puhul piisab aritmeetilise progressiooni summa tähenduse mõistmisest. Noh, sa pead teadma paari valemit.)

Praktilised nõuanded:

Mis tahes aritmeetilise progressiooni summaga ülesande lahendamisel soovitan sellest teemast kohe välja kirjutada kaks peamist valemit.

N-nda perioodi valem:

Need valemid ütlevad teile kohe, mida otsida ja millises suunas mõelda, et probleemi lahendada. Aitab.

Ja nüüd iseseisva lahenduse ülesanded.

5. Leidke kõigi kahekohaliste arvude summa, mis ei jagu kolmega.

Lahe?) Vihje on peidetud märkuses ülesandele 4. Noh, ülesanne 3 aitab.

6. Aritmeetilise progressiooni annab tingimus: a 1 = -5,5; a n+1 = a n +0,5. Leidke selle esimese 24 liikme summa.

Ebatavaline?) See on korduv valem. Selle kohta saate lugeda eelmises õppetükis. Ärge ignoreerige linki, selliseid probleeme leidub sageli Riigi Teaduste Akadeemias.

7. Vasja kogus puhkuseks raha. Koguni 4550 rubla! Ja otsustasin kinkida oma lemmikinimesele (endale) paar päeva õnne). Elage ilusti ilma endale midagi keelamata. Kulutage esimesel päeval 500 rubla ja igal järgmisel päeval kulutage 50 rubla rohkem kui eelmisel päeval! Kuni raha otsa saab. Mitu päeva õnne Vasyal oli?

Kas see on raske?) ülesande 2 lisavalem aitab.

Vastused (segaselt): 7, 3240, 6.

Kui teile meeldib see sait...

Muide, mul on teie jaoks veel paar huvitavat saiti.)

Saab harjutada näidete lahendamist ja teada saada oma taset. Testimine kiirkinnitusega. Õpime - huviga!)

Saate tutvuda funktsioonide ja tuletistega.

Tunni tüüp: uue materjali õppimine.

Tunni eesmärgid:

• õpilaste arusaamise laiendamine ja süvendamine aritmeetilise progressiooni abil lahendatud probleemidest; õpilaste otsingutegevuse organiseerimine aritmeetilise progressiooni esimese n liikme summa valemi tuletamisel;
• arendada oskust iseseisvalt omandada uusi teadmisi ja kasutada juba omandatud teadmisi etteantud ülesande saavutamiseks;
• saavutatud faktide üldistamise soovi ja vajaduse arendamine, iseseisvuse arendamine.

Ülesanded:

• võtta kokku ja süstematiseerida olemasolevaid teadmisi teemal “Aritmeetiline progressioon”;
• tuletada valemid aritmeetilise progressiooni esimese n liikme summa arvutamiseks;
• õpetada saadud valemeid rakendama erinevate ülesannete lahendamisel;
• juhtida õpilaste tähelepanu arvavaldise väärtuse leidmise protseduurile.

Varustus:

• kaardid ülesannetega rühmades ja paarides töötamiseks;
• hindamispaber;
• esitlus"Aritmeetiline progressioon."

I. Algteadmiste täiendamine.

1. Iseseisev töö paaristööna.

1. variant:

Määratlege aritmeetiline progressioon. Kirjutage üles kordumise valem, mis määratleb aritmeetilise progressiooni. Esitage aritmeetilise progressiooni näide ja märkige selle erinevus.

2. variant:

Kirjutage üles aritmeetilise progressiooni n-nda liikme valem. Leidke aritmeetilise progressiooni 100. liige ( a n}: 2, 5, 8 …
Sel ajal valmistavad kaks õpilast tahvli tagaküljel samadele küsimustele vastuseid.
Õpilased hindavad oma partneri tööd, kontrollides neid tahvlil. (Lehed vastustega antakse sisse.)

2. Mänguhetk.

1. harjutus.

Õpetaja. Mõtlesin mõnele aritmeetilisele progressioonile. Esitage mulle ainult kaks küsimust, et pärast vastuseid saaksite kiiresti nimetada selle edenemise 7. liikme. (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15…)

Küsimused õpilastelt.

1. Mis on progresseerumise kuues liige ja mis vahe on?
2. Mis on edenemise kaheksas liige ja mis vahe on?

Kui rohkem küsimusi pole, saab õpetaja neid stimuleerida - d-le (erinevus) "keeld", see tähendab, et ei tohi küsida, millega erinevus võrdub. Saate esitada küsimusi: millega võrdub progressiooni 6. liige ja millega progresseerumise 8. liige?

2. ülesanne.

Tahvlile on kirjutatud 20 numbrit: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.

Õpetaja seisab seljaga tahvli poole. Õpilased helistavad numbri ja õpetaja helistab kohe numbri ise. Selgitage, kuidas ma saan seda teha?

Õpetaja mäletab n-nda õppeveerandi valemit a n = 3n – 2 ja asendades määratud väärtused n, leiab vastavad väärtused a n.

II. Õppeülesande püstitamine.

Teen ettepaneku lahendada iidne probleem, mis pärineb II aastatuhandest eKr ja mis leiti Egiptuse papüürustest.

Ülesanne:"Olgu teile öeldud: jagage 10 mõõtu otra 10 inimese vahel, vahe iga inimese ja tema naabri vahel on 1/8 mõõdust."

• Kuidas on see probleem seotud teema aritmeetilise progressiooniga? (Iga järgmine inimene saab 1/8 mõõdust rohkem, mis tähendab, et vahe on d=1/8, 10 inimest, mis tähendab n=10.)
• Mida number 10 mõõdik teie arvates tähendab? (Kõigi progresseerumise tingimuste summa.)
• Mida on veel vaja teada, et odra jagamine vastavalt probleemi tingimustele oleks lihtne ja lihtne? (Esimene progresseerumisperiood.)

Tunni eesmärk– progressiooniliikmete summa sõltuvuse saamine nende arvust, esimesest liikmest ja vahest ning kontrollimine, kas probleem lahendati muinasajal õigesti.

Enne valemi tuletamist vaatame, kuidas muistsed egiptlased probleemi lahendasid.

Ja nad lahendasid selle järgmiselt:

1) 10 meedet: 10 = 1 meede – keskmine osakaal;
2) 1 mõõt ∙ = 2 takti – kahekordistatud keskmine jagada.
Kahekordne keskmine aktsia on 5. ja 6. isiku osade summa.
3) 2 meedet – 1/8 meedet = 1 7/8 meedet – kahekordne viienda isiku osakaal.
4) 1 7/8: 2 = 5/16 – viiendiku murdosa; ja nii edasi, leiate iga eelmise ja järgmise inimese osakaalu.

Saame järjestuse:

III. Probleemi lahendamine.

1. Töötage rühmades

I rühm: Leidke 20 järjestikuse naturaalarvu summa: S 20 =(20+1)∙10 =210.

Üldiselt

II rühm: Leidke naturaalarvude summa vahemikus 1 kuni 100 (Legend väikesest Gaussist).

S 100 = (1+100)∙50 = 5050

Järeldus:

III rühm: Leidke naturaalarvude summa vahemikus 1 kuni 21.

Lahendus: 1+21=2+20=3+19=4+18…

Järeldus:

IV grupp: Leidke naturaalarvude summa vahemikus 1 kuni 101.

Järeldus:

Seda vaadeldavate probleemide lahendamise meetodit nimetatakse Gaussi meetodiks.

2. Iga rühm esitab ülesande lahenduse tahvlil.

3. Suvalise aritmeetilise progressiooni pakutud lahenduste üldistamine:

a 1, a 2, a 3,…, a n-2, a n-1, a n.
S n =a 1 + a 2 + a 3 + a 4 +…+ a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n.

Leiame selle summa sarnaste põhjenduste abil:

4. Kas oleme probleemi lahendanud?(Jah.)

IV. Saadud valemite esmane mõistmine ja rakendamine ülesannete lahendamisel.

1. Iidse ülesande lahenduse kontrollimine valemi abil.

2. Valemi rakendamine erinevate ülesannete lahendamisel.

3. Harjutused valemite rakendamise oskuse arendamiseks ülesannete lahendamisel.

A) nr 613

Antud:( a n) – aritmeetiline progressioon;

(a n): 1, 2, 3, …, 1500

Leia: S 1500

Lahendus: , a 1 = 1 ja 1500 = 1500,

B) Arvestades: ( a n) – aritmeetiline progressioon;
(a n): 1, 2, 3, …
Sn = 210

Leia: n
Lahendus:

V. Iseseisev töö vastastikuse kontrolliga.

Denis asus tööle kullerina. Esimesel kuul oli tema palk 200 rubla, igal järgneval kuul tõusis see 30 rubla võrra. Kui palju ta aastaga kokku teenis?

Antud:( a n) – aritmeetiline progressioon;
a 1 = 200, d = 30, n = 12
Leia: S 12
Lahendus:

Vastus: Denis sai aasta eest 4380 rubla.

VI. Kodutöö juhendamine.

1. Jaotis 4.3 – õppige valemi tuletamist.
2. №№ 585, 623 .
3. Koostage ülesanne, mida saab lahendada aritmeetilise progressiooni esimese n liikme summa valemi abil.

VII. Õppetunni kokkuvõte.

1. Tulemuste tabel

2. Jätkake lauseid

• Täna tunnis õppisin...
• Õpitud valemid...
• Ma usun seda …

3. Kas leiate arvude summa 1 kuni 500? Millist meetodit kasutate selle probleemi lahendamiseks?

Bibliograafia.

1. Algebra, 9. klass. Õpik üldharidusasutustele. Ed. G.V. Dorofejeva. M.: "Valgustus", 2009.

Gümnaasiumis algebrat õppides (9. klass) on üheks oluliseks teemaks arvjadade õpe, mille hulka kuuluvad progressioonid - geomeetriline ja aritmeetika. Selles artiklis vaatleme aritmeetilist progressiooni ja näiteid lahendustega.

Mis on aritmeetiline progressioon?

Selle mõistmiseks on vaja määratleda kõnealune progress, samuti esitada põhivalemid, mida hiljem ülesannete lahendamisel kasutada.

Aritmeetiline ehk algebraline progressioon on järjestatud ratsionaalarvude hulk, mille iga liige erineb eelmisest mingi konstantse väärtuse võrra. Seda väärtust nimetatakse erinevuseks. See tähendab, et teades järjestatud arvude jada mis tahes liiget ja erinevust, saate taastada kogu aritmeetilise progressiooni.

Toome näite. Järgmine arvude jada on aritmeetiline progressioon: 4, 8, 12, 16, ..., kuna antud juhul on erinevus 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Kuid arvude komplekti 3, 5, 8, 12, 17 ei saa enam omistada vaadeldavale progresseerumistüübile, kuna selle erinevus ei ole konstantne väärtus (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17-12).

Olulised valemid

Esitame nüüd põhivalemid, mida läheb vaja aritmeetilise progressiooni abil ülesannete lahendamiseks. Tähistame sümboliga a n jada n-ndat liiget, kus n on täisarv. Erinevust tähistame ladina tähega d. Siis kehtivad järgmised väljendid:

1. N-nda liikme väärtuse määramiseks sobib järgmine valem: a n = (n-1)*d+a 1 .
2. Esimese n liikme summa määramiseks: S n = (a n +a 1)*n/2.

Lahendustega aritmeetilise progressiooni näidete mõistmiseks 9. klassis piisab nende kahe valemi meeldejätmisest, kuna kõik vaadeldavat tüüpi ülesanded põhinevad nende kasutamisel. Samuti peaksite meeles pidama, et progresseerumise erinevus määratakse valemiga: d = a n - a n-1.

Näide nr 1: tundmatu termini leidmine

Toome lihtsa näite aritmeetilisest progressioonist ja selle lahendamiseks kasutatavatest valemitest.

Jada 10, 8, 6, 4, ... olgu antud, sealt tuleb leida viis terminit.

Ülesande tingimustest järeldub juba, et esimesed 4 terminit on teada. Viiendat saab määratleda kahel viisil:

1. Kõigepealt arvutame erinevuse. Meil on: d = 8 - 10 = -2. Samamoodi võite võtta kaks teist liiget, kes seisavad üksteise kõrval. Näiteks d = 4 - 6 = -2. Kuna on teada, et d = a n - a n-1, siis d = a 5 - a 4, millest saame: a 5 = a 4 + d. Asendame teadaolevad väärtused: a 5 = 4 + (-2) = 2.
2. Teine meetod nõuab ka teadmisi kõnealuse progresseerumise erinevusest, seega peate esmalt määrama selle, nagu ülal näidatud (d = -2). Teades, et esimene liige a 1 = 10, kasutame jada n arvu valemit. Meil on: a n = (n - 1) * d + a 1 = (n - 1) * (-2) + 10 = 12 - 2 * n. Asendades viimase avaldisega n = 5, saame: a 5 = 12-2 * 5 = 2.

Nagu näete, viisid mõlemad lahendused sama tulemuseni. Pange tähele, et selles näites on progresseerumise erinevus d negatiivne väärtus. Selliseid jadasid nimetatakse kahanevateks, kuna iga järgmine liige on väiksem kui eelmine.

Näide nr 2: progresseerumise erinevus

Teeme nüüd ülesande pisut keerulisemaks, toome näite, kuidas

On teada, et mõnes on 1. liige võrdne 6-ga ja 7. liige 18. Tuleb leida erinevus ja taastada see jada 7. liikmeks.

Kasutame tundmatu liikme määramiseks valemit: a n = (n - 1) * d + a 1 . Asendame sellesse tingimusest teadaolevad andmed ehk arvud a 1 ja a 7, saame: 18 = 6 + 6 * d. Selle avaldise põhjal saate hõlpsalt arvutada erinevuse: d = (18 - 6) /6 = 2. Seega oleme vastanud ülesande esimesele osale.

Jada taastamiseks 7. liikmele peaksite kasutama algebralise progressiooni definitsiooni, st a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d jne. Selle tulemusena taastame kogu jada: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2 = 8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16, a 7 = 18.

Näide nr 3: progressiooni koostamine

Teeme probleemi veelgi keerulisemaks. Nüüd peame vastama küsimusele, kuidas leida aritmeetilist progressiooni. Võib tuua järgmise näite: on antud kaks arvu, näiteks - 4 ja 5. Vaja on luua algebraline progressioon, et nende vahele jääks veel kolm liiget.

Enne selle probleemi lahendamise alustamist peate mõistma, millise koha antud numbrid edaspidises progresseerumises hõivavad. Kuna nende vahel on veel kolm liiget, siis a 1 = -4 ja a 5 = 5. Olles selle kindlaks teinud, liigume edasi ülesande juurde, mis on sarnane eelmisele. Jällegi, n-nda liikme jaoks kasutame valemit, saame: a 5 = a 1 + 4 * d. Alates: d = (a 5 - a 1)/4 = (5 - (-4)) / 4 = 2,25. See, mida me siin saame, ei ole erinevuse täisarv, vaid see on ratsionaalne arv, nii et algebralise progressiooni valemid jäävad samaks.

Nüüd lisame leitud erinevuse 1-le ja taastame progressiooni puuduvad liikmed. Saame: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 = 2,75 + 2,25 = 5, mis langesid kokku probleemi tingimustega.

Näide nr 4: progresseerumise esimene tähtaeg

Jätkame näidete toomist aritmeetilise progressiooni kohta lahendustega. Kõigis varasemates ülesannetes oli algebralise progressiooni esimene number teada. Vaatleme nüüd teist tüüpi ülesannet: olgu antud kaks arvu, kus a 15 = 50 ja a 43 = 37. Tuleb leida, millise arvuga see jada algab.

Seni kasutatud valemid eeldavad a 1 ja d tundmist. Probleemi avalduses pole nende numbrite kohta midagi teada. Sellegipoolest kirjutame iga termini kohta üles avaldised, mille kohta on saadaval teave: a 15 = a 1 + 14 * d ja a 43 = a 1 + 42 * d. Saime kaks võrrandit, milles on 2 tundmatut suurust (a 1 ja d). See tähendab, et ülesanne taandub lineaarvõrrandisüsteemi lahendamisele.

Lihtsaim viis selle süsteemi lahendamiseks on väljendada igas võrrandis 1 ja seejärel võrrelda saadud avaldisi. Esimene võrrand: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; teine ​​võrrand: a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. Neid avaldisi võrdsutades saame: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, kust erinevus d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0,464 (antud on ainult 3 kohta pärast koma).

Teades d-d, saate 1 jaoks kasutada mis tahes ülaltoodud kahest avaldisest. Näiteks kõigepealt: a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0,464) = 56,496.

Kui kahtlete saadud tulemuses, saate seda kontrollida, näiteks määrata progresseerumise 43. tähtaeg, mis on tingimuses määratud. Saame: a 43 = a 1 + 42 * d = 56,496 + 42 * (- 0,464) = 37,008. Väike viga on tingitud sellest, et arvutustes kasutati ümardamist tuhandikuteni.

Näide nr 5: summa

Vaatame nüüd mitut näidet aritmeetilise progressiooni summa lahendustega.

Olgu antud arvuline progressioon järgmisel kujul: 1, 2, 3, 4, ...,. Kuidas arvutada nende arvude 100 summat?

Tänu arvutitehnoloogia arengule on võimalik see probleem lahendada ehk kõik numbrid järjestikku liita, mida arvuti teeb kohe, kui inimene vajutab Enter klahvi. Probleemi saab aga vaimselt lahendada, kui pöörata tähelepanu sellele, et esitatud arvude jada on algebraline progressioon ja selle erinevus võrdub 1-ga. Rakendades summa valemit, saame: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Huvitav on märkida, et seda probleemi nimetatakse Gaussiks, sest 18. sajandi alguses suutis kuulus, veel vaid 10-aastane sakslane selle mõne sekundiga oma peas lahendada. Poiss ei teadnud algebralise progressiooni summa valemit, kuid ta märkas, et kui liita jada otstes olevad arvud paarikaupa, saad alati sama tulemuse ehk 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ... ja kuna need summad on täpselt 50 (100 / 2), siis õige vastuse saamiseks piisab 50 korrutamisest 101-ga.

Näide nr 6: terminite summa n-st m-ni

Teine tüüpiline näide aritmeetilise progressiooni summa kohta on järgmine: kui on antud arvude jada: 3, 7, 11, 15, ..., peate leidma, milline on selle liikmete summa vahemikus 8 kuni 14 .

Probleem lahendatakse kahel viisil. Esimene neist hõlmab tundmatute terminite leidmist vahemikus 8 kuni 14 ja seejärel nende järjestikust summeerimist. Kuna termineid on vähe, pole see meetod päris töömahukas. Sellest hoolimata tehakse ettepanek selle probleemi lahendamiseks kasutada teist meetodit, mis on universaalsem.

Idee on saada valem terminite m ja n vahelise algebralise progressiooni summa kohta, kus n > m on täisarvud. Mõlemal juhul kirjutame summa jaoks kaks avaldist:

1. S m = m * (a m + a 1) / 2.
2. S n = n * (a n + a 1) / 2.

Kuna n > m, on ilmne, et 2. summa sisaldab esimest. Viimane järeldus tähendab, et kui võtta nende summade vahe ja lisada sellele liige a m (vahe võtmise korral lahutatakse see summast S n), saame ülesandele vajaliku vastuse. Meil on: S mn = S n - S m + a m =n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m)/2 + a m = a 1 * (n - m) / 2 + a n * n/2 + a m * (1- m/2). Selles avaldises on vaja asendada n ja m valemid. Siis saame: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.

Saadud valem on mõnevõrra tülikas, kuid summa S mn sõltub ainult n-st, m-st, a 1-st ja d-st. Meie puhul a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Nende arvude asendamisel saame: S mn = 301.

Nagu ülaltoodud lahendustest näha, põhinevad kõik ülesanded n-nda liikme avaldise ja esimeste liikmete hulga summa valemi tundmisel. Enne nende probleemide lahendamise alustamist on soovitatav tingimus hoolikalt läbi lugeda, selgelt mõista, mida peate leidma, ja alles seejärel jätkata lahendusega.

Teine näpunäide on püüelda lihtsuse poole, see tähendab, et kui saate küsimusele vastata ilma keerulisi matemaatilisi arvutusi kasutamata, peate seda tegema, kuna sel juhul on eksimise tõenäosus väiksem. Näiteks aritmeetilise progressiooni näites lahendusega nr 6 võiks peatuda valemis S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m ja jaga üldülesanne eraldi alamülesanneteks (sel juhul leia esmalt terminid a n ja a m).

Kui kahtlete saadud tulemuse suhtes, on soovitatav seda kontrollida, nagu tehti mõnes toodud näites. Saime teada, kuidas leida aritmeetilist progressiooni. Kui sa sellest aru saad, pole see nii keeruline.

Selles õppetükis tuletame lõpliku aritmeetilise progressiooni liikmete summa valemi ja lahendame selle valemi abil mõned ülesanded.

Teema: Progressid

Õppetund: Lõpliku aritmeetilise progressiooni liikmete summa valem

1. Sissejuhatus

Mõelge probleemile: leidke naturaalarvude summa vahemikus 1 kuni 100 (kaasa arvatud).

Antud: 1, 2, 3, …, 98, 99, 100.

Leia: S100=1+2+3 … +98 + 99 + 100.

Lahendus: S100=(1+100)+(2+99)+(3+98)+…+(50+51)=101+101+101+…+101=101 x 50=5050.

Vastus: 5050.

Naturaalarvude jada 1, 2, 3, …, 98, 99, 100 on aritmeetiline progressioon: a1=1, d=1.

Leidsime esimese saja naturaalarvu summa, s.o esimese n summa aritmeetilise progressiooni terminid.

Kaalutud lahenduse pakkus välja suur matemaatik Carl Friedrich Gauss, kes elas 19. sajandil. Ta lahendas probleemi 5-aastaselt.

Ajalooline viide: Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855) oli saksa matemaatik, mehaanik, füüsik ja astronoom. Peetakse üheks kõigi aegade suurimaks matemaatikuks, "matemaatikute kuningaks". Copley medali laureaat (1838), Rootsi (1821) ja Venemaa (1824) Teaduste Akadeemia ning Inglise Kuningliku Seltsi välisliige. Legendi järgi palus kooli matemaatikaõpetaja, et lapsi pikka aega töös hoida, lugeda arvude summa 1-st 100-ni. Noor Gauss märkas, et vastandite paarissummad on samad: 1+100=101 , 2+99=101 jne jne ja sai kohe tulemuseks: 101x50=5050.

2. Aritmeetilise progressiooni esimese n liikme summa valemi tuletamine

Vaatleme sarnast ülesannet suvalise aritmeetilise progressiooni jaoks.

Leia: aritmeetilise progressiooni esimese n liikme summa.

Näitame, et kõik sulgudes olevad avaldised on üksteisega võrdsed, nimelt avaldisega . Olgu d aritmeetilise progressiooni erinevus. Seejärel:

Jne Seetõttu võime kirjutada:

Kust saame aritmeetilise progressiooni esimese n liikme summa valemi:

.

3. Ülesannete lahendamine aritmeetilise progressiooni esimese n liikme summa valemi abil

1. Lahendame naturaalarvude summa 1 kuni 100 ülesande, kasutades aritmeetilise progressiooni esimese n liikme summa valemit:

Lahendus: a1=1, d=1, n=100.

Üldvalem:

.

Meie puhul: .

Vastus: 5050.

Üldvalem:

. Leiame aritmeetilise progressiooni n-nda liikme valemi abil: .

Meie puhul: .

Et leida, tuleb esmalt leida.

Seda saab teha üldise valemi abil .Esmalt rakendame seda valemit aritmeetilise progressiooni erinevuse leidmiseks.

See on . Tähendab .

Nüüd leiame.

Aritmeetilise progressiooni esimese n liikme summa valemi kasutamine

, leiame selle.

4. Aritmeetilise progressiooni esimese n liikme summa teise valemi tuletamine

Leiame aritmeetilise progressiooni esimese n liikme summa teise valemi, nimelt: tõestame, et .

Tõestus:

Aritmeetilise progressiooni esimese n liikme summa valemis asendame väljendiga , nimelt . Saame: , st. . Q.E.D.

Analüüsime saadud valemeid. Esimese valemi abil arvutamiseks sa pead teadma esimest liiget, viimast liiget ja n, kasutades teist valemit - peate teadma esimest liiget, erinevust ja n.

Ja kokkuvõtteks märgime, et igal juhul on Sn n ruutfunktsioon, sest .

5. Ülesannete lahendamine aritmeetilise progressiooni esimese n liikme summa teise valemi abil

Üldvalem:

.

Meie puhul:.

Vastus: 403.

2. Leidke kõigi kahekohaliste arvude summa, mis on 4-kordsed.

(12; 16; 20; …; 96) - arvude kogum, mis vastab ülesande tingimustele.

See tähendab, et meil on aritmeetiline progressioon.

n leiame valemist:.

See on . Tähendab .

Teise valemi kasutamine aritmeetilise progressiooni esimese n liikme summa jaoks

, leiame selle.

Peate leidma kõigi terminite summa alates 10. kuni 25. kuupäevani.

Üks lahendus on järgmine:

Seega,.

6. Tunni kokkuvõte

Niisiis, oleme tuletanud lõpliku aritmeetilise progressiooni liikmete summa valemid. Kasutasime neid valemeid mõne probleemi lahendamiseks.

Järgmises tunnis tutvume aritmeetilise progressiooni iseloomuliku omadusega.

1. Makarychev Yu. N. jt Algebra 9. klass (õpik keskkoolile).- M.: Haridus, 1992.

2. Makarychev Yu. N., Mindyuk N. G., Neshkov, K. I. Algebra 9. klassile edasijõudnutega. uurinud Matemaatika.-M.: Mnemosyne, 2003.

3. Makarychev Yu. N., Mindyuk N. G. 9. klassi algebra kooliõpiku täiendavad peatükid - M.: Prosveshchenie, 2002.

4. Galitsky M. L., Goldman A. M., Zvavich L. I. Algebra ülesannete kogumik 8.–9. klassile (õpik matemaatika süvaõppega koolide ja klasside õpilastele). - M.: Prosveshchenie, 1996.

5. Mordkovich A.G.Algebra 9. klass, õpik üldharidusasutustele. - M.: Mnemosyne, 2002.

6. Mordkovich A. G., Mishutina T. N., Tulchinskaya E. E. Algebra 9. klass, probleemraamat õppeasutustele. - M.: Mnemosyne, 2002.

7. Glazer G.I. Matemaatika ajalugu koolis. 7-8 klass (õpetaja käsiraamat).- M.: Haridus, 1983.

1. Kõrgkooli sektsioon. ru matemaatikas.

2. Loodusteaduste portaal.

3. Eksponent. ru Hariduslik matemaatiline sait.

1. nr 362, 371, 377, 382 (Makarõtšev Yu. N. et al. Algebra 9. klass).

2. nr 12.96 (Galitsky M.L., Goldman A.M., Zvavich L.I. Algebraülesannete kogumik 8.-9. klassile).