Дерево пифагора пример построения фракталов. Построение дерева пифагора

Особенности

Одним из свойств дерева Пифагора является то, что если площадь первого квадрата равна единице, то на каждом уровне сумма площадей квадратов тоже будет равна единице.

Если в классическом дереве Пифагора угол равен 45 градусам, то также можно построить и обобщённое дерево Пифагора при использовании других углов. Такое дерево часто называют обдуваемое ветром дерево Пифагора . Если изображать только отрезки, соединяющие каким-либо образом выбранные «центры» треугольников, то получается обнаженное дерево Пифагора .

Примеры

Pythagoras tree 1.gif

Классическое дерево Пифагора

Pythagoras tree 2.gif

Обдуваемое ветром дерево Пифагора

Pythagoras tree 3.gif

Обнаженное дерево Пифагора

Pythagoras tree 4.gif

Обнаженное обдуваемое ветром дерево Пифагора

См. также

Напишите отзыв о статье "Дерево Пифагора"

Отрывок, характеризующий Дерево Пифагора

Приходило ощущение обморока, но, посмотрев в сияющие гордостью глаза Анны, всё плохое вдруг куда-то исчезло... Как же светла и красива была в этот страшный момент моя дочь!..
– Вы сошли с ума, мадонна! Неужели вы сможете так просто послать свою дочь в подвал?.. Вы ведь прекрасно знаете, что её там ждёт! Опомнитесь, Изидора!..
Вдруг, Анна вплотную подошла к Караффе и звонким ясным голосом произнесла:
– Ты не судья и не Бог!.. Ты всего лишь – грешник! Потому и жжёт Перстень Грешников твои грязные пальцы!.. Думаю, он одет на тебя не случайно... Ибо ты самый подлый из них! Ты не испугаешь меня, Караффа. И моя мать никогда не подчинится тебе!
Анна выпрямилась и... плюнула Папе в лицо. Караффа смертельно побледнел. Я никогда не видела, чтобы кто-то бледнел так быстро! Его лицо буквально в долю секунды стало пепельно-серым... а в его жгучих тёмных глазах вспыхнула смерть. Всё ещё стоя в «столбняке» от неожиданного поведения Анны, я вдруг всё поняла – она нарочно провоцировала Караффу, чтобы не тянуть!.. Чтобы скорее что-то решить и не мучить меня. Чтобы самой пойти на смерть... Мою душу скрутило болью – Анна напомнила мне девочку Дамиану... Она решала свою судьбу... а я ничем не могла помочь. Не могла вмешаться.
– Ну что ж, Изидора, думаю вы сильно пожалеете об этом. Вы плохая мать. И я был прав насчёт женщин – все они порождение дьявола! Включая мою несчастную матушку.
– Простите, ваше святейшество, но если ваша мать порождение Дьявола, то кем же тогда являетесь вы?.. Ведь вы – плоть от плоти её? – искренне удивившись его бредовым суждениям, спросила я.

Сейчас, читая про свободные абелевы группы, наткнулась на граф Кэли, а через него вышла на дерево Пифагора .
Не смогла пройти мимо.
Быть может, все он нем знают.... Но вдруг кто-то всё же не знает.
Дерево Пифагора - разновидность фрактала, основанная на фигуре, известной как «Пифагоровы штаны».
Сами пифагоровы штаны вот:

А поскольку фракталы всегда получаются итерациями чего-то очень простого, то немудрено, что построив на сторонах квадратов новые треугольники и повторив всё заново, мы должны получить самоподобную структуру...
Сначала приведу сведения из Википедии.
История
Пифагор, доказывая свою знаменитую теорему, построил фигуру, где на сторонах прямоугольного треугольника расположены квадраты. В наш век эта фигура Пифагора выросла в целое дерево. Впервые дерево Пифагора построил А. Е. Босман (1891-1961) во время второй мировой войны, используя обычную чертёжную линейку.

Особенности
Одним из свойств дерева Пифагора является то, что если площадь первого квадрата равна единице, то на каждом уровне сумма площадей квадратов тоже будет равна единице.
Если в классическом дереве Пифагора угол равен 45 градусам, то также можно построить и обобщённое дерево Пифагора при использовании других углов. Такое дерево часто называют обдуваемое ветром дерево Пифагора . Если изображать только отрезки, соединяющие каким-либо образом выбранные «центры» треугольников, то получается обнаженное дерево Пифагора .

Примеры
Классическое дерево Пифагора:

Обдуваемое ветром дерево Пифагора:

Обнаженное дерево Пифагора:

Обнаженное обдуваемое ветром дерево Пифагора:

Интересные ссылки
1. На этом сайте те же картинки, что и в Википедии с программами на Паскале, рисующими все эти фракталы: fractalworld.xaoc.ru/Pythagoras_tree

Если самая большая площадь имеет размеры L × L, все дерево Пифагора плотно помещается в коробку размером 6L × 4L. Тонкости дерева напоминают кривую Леви .

Построение

Построение дерева Пифагора начинается с квадрата. По этой площади построены два квадрата, каждый уменьшен линейным коэффициентом ½ √ 2, так что углы квадратов совпадают попарно. Такая же процедура применяется рекурсивно , то к двум - еще меньшие квадраты, до бесконечности. На рисунке ниже показаны первые несколько итераций в процессе строительства.

Площадь

N - итерация в строительстве добавляет 2n квадраты размером (½ √ 2) N, в общей площади 1. Таким образом, может показаться, в этой части дерево растет неограниченно в пределе N → ∞. Тем не менее, некоторые из площадей перекрываются, начиная с порядка 5 итерации , и дерево на самом деле имеет конечную площадь, поскольку она соответствует размерам в 6 × 4. Это нетрудно доказать, что площадь А дерева Пифагора должна быть в диапазоне от 5 <А <18, которая может быть сужена в дальнейшем дополнительными усилиями.

Изменение угла

Интересный набор вариаций может быть построен путем поддержания равнобедренного треугольника, но изменения базового угла (90 градусов для стандартного дерева Пифагора). В частности, когда базовый половинный угол составляет 30 ° = арксинус (0.5), легко видеть, что размер клеток остается постоянным. Первое перекрытие происходит на четвертой итерации. Общая схема является по сути, ромббитригексагональной плиткой, где массив из шестиугольников граничит с конструкцией квадратов.

В пределе , когда половинный угол составляет 90 градусов, то, очевидно, не перекрываются, и общая площадь в два раза превышает площадь основания квадрата. Было бы интересно узнать, есть ли связь между алгоритмическим значением базового половинного угла и итерации, на которой квадраты накладываются друг на друга.

Измененное и модифицированное дерево Пифагора (фрактал) для применения в антенной технике.

Использование оригинального фрактального дерева Пифагора (UPTF ) изобретено голландским математиком, Альберт E.Босманом в 1942 году. Дерево Пифагора является 2D фракталом построенным из квадратов. Как уже описывалось ранее, начиная с пятой итерации некоторые из площадей перекрываются, и дерево - фрактал фактически имеет конечную площадь, поскольку она помещается в размер 6 × 4 - коробки. По этой причине необходимо задержать перекрытие пальцами левой и правой руки UPTF в 4-й итерации, таким образом, мы проектируем MPT - фрактал путем устранения первых итераций большой площади и изменим равнобедренный прямоугольный треугольник равнобедренным треугольником с крутыми углами (α = 10 град), чтобы уменьшить высоту фрактала и спроектировать компактные антенны. Наша цель в проектировании ЛПУ является использование этого фрактала для управления пропускной способностью и сопротивлением резонансов. На основе результатов моделирования изменения дерева Пифагора замечена очень хорошая возможность миниатюризации из-за его свойства самоподобия, без значительного снижения пропускной способности и эффективности антенны.

Фламандский художник Jos de Mey создал много работ с деревом Пифагора в качестве основного мотива. Ниже вы можете увидеть его работы.

http://demonstrations.wolfram.com/PythagorasTree/ - Фрактальная конструкция, основанная на теореме Пифагора. Это асимметричный вариант; симметричный вариант также возможен.

http://demonstrations.wolfram.com/download-cdf-player.html - скачать плеер для просмотра

Источник : http://en.wikipedia.org/wiki/Pythagoras_tree_(fractal)

Перевод: Дмитрий Шахов

Научные достижения Пифагора

Пифагор Самосский (570-490 гг. до н.э.) - древнегреческий философ и математик, создатель религиозно-философской школы пифагорейцев. Историю жизни Пифагора трудно отделить от легенд...

Научные достижения Пифагора

Пребудет вечной истина, как скоро Её познает слабый человек! И ныне теорема Пифагора верна, Как и в его далёкий век… Трудно найти человека, у которого имя Пифагор не ассоциировалось бы с его теоремой...

Научные достижения Пифагора

Задача №1 Решение: Д АВС - прямоугольный с гипотенузой АВ, по теореме Пифагора: АВ2 = АС2 + ВС2,АВ2 = 82 + 62,АВ2 = 64 + 36,АВ2 = 100,АВ = 10. Ответ: АВ = 10 Задача №2 Решение: Д DCE - прямоугольный с гипотенузой DE, по теореме Пифагора: DE2 = DС2 + CE2,DC2 = DE2 - CE2,DC2 = 52 - 32...

Неевклидова геометрия

Н.И.Лобачевским было замечено, что созданная им неевклидова геометрия в бесконечно малом, то есть в первом приближении, совпадает с геометрией евклидовой плоскости. Проиллюстрируем это на примере теоремы Пифагора...

Нумерология

Основные положения нынешнего варианта западной нумерологии были разработаны в VI веке до н. э. древнегреческим философом и математиком Пифагором, который объединил математические системы арабов, друидов...

Нумерология

Пифагор, его ученики и последователи сократили все числа до цифр от 1 до 9 включительно, поскольку они являются исходными числами, из которых могут быть получены все другие (само по себе это уже не вызывает доверия...

Нумерология

Числа у Пифагора считались не просто абстрактными заменителями реальных вещей, но живыми сущностями, отражающими свойства пространства, энергии или звуковой вибрации. Главная наука о числе, арифметика...

О пифагорейской математике

Пифагор - не только самый популярный ученый, но и самая загадочная личность, человек-символ, человек-фантом, философ и пророк. Основоположник дедуктивного научного знания математики и родоначальник многих мистических учений...

Основную проблему данной работы, можно разбить на подпроблемы и представить в виде дерева проблем (см. рис. 1.1) 1. Сложность последовательной обработки всех возможных различных состояний кубика Рубика 1.1...

Системный анализ групп преобразований состояний кубика Рубика

Основную цель данной работы, можно разбить на подцели и представить в виде дерева целей (см. рис. 1.2). 1. Исследовать возможность создания алгоритмов и сформулировать рекомендации...

Статистический анализ банковской деятельности. Исследование моделей оценки кредитных рисков

Дерево классификаций является более общим алгоритмом сегмен-тации обучающей выборки прецедентов. В методе дерева клас-сификаций сегментация прецедентов задается не с помощью n-мерной сетки...

Элементы комбинаторики

Цели: · проверить знания по темам: «Поиск закономерностей», «Перебор возможных вариантов. Дерево возможных вариантов», «Правило суммы и правило произведения». Оборудование: карточки с самостоятельной работой Ход урока 1...

Привет, друзья, интересующиеся фракталами и не только. Начиная с этого момента, я запускаю серию постов, в которых буду объяснять принципы построения простейших фракталов. Изучать всегда интересно и я помогу вам в этом: отныне мы будем знать многие и многие фракталы. Аттрактор Лоренца в статье про хаос был тому примером. А сегодня я расскажу вам про дерево Пифагора.

Итак, что это такое? Дерево Пифагора – это простейший фрактал, который можно начертить на бумаге. Но почему этот фрактал называется деревом Пифагора? Дело в том, что здесь есть связь с теоремой Пифагора – одной из основ евклидовой геометрии. Помните ее? Я напомню: а2 + b2 = c2 (сумма квадратов длин катетов равна квадрату длины гипотенузы). Эта теорема известна с древности, доказательств теоремы в настоящее время насчитывают более 400, и только Пифагор впервые доказал ее геометрически. Он построил такую фигуру: взял прямоугольный треугольник и на его сторонах нарисовал квадраты. Такая фигура еще называется «Пифагоровы штаны»:

Если продолжить данную конструкцию рекурсивно, то мы получаем в итоге дерево Пифагора:
1 итерация (в нашем дереве Пифагора угол равен 45 градусам):

Вторая итерация:

Третья итерация:

Десятая итерация:

Важное свойство дерева Пифагора: если площадь первого квадрата равна единице, то на каждом уровне сумма площадей квадратов тоже будет равна единице.
Если угол изменить с 45 градусов, то можно построить и другие типы дерева Пифагора.
Вот, к примеру, так называемое «обдуваемое ветром дерево Пифагора»:

В некоторых генераторах фрактальной графики реализована формула построения фрактала на основе дерева Пифагора. Эта реализация очень напоминает IFS – системы, особенно если заменить квадраты на прямоугольники или вытянутые фигуры.
На сегодня всё, до следующих встреч, в которых будет много других интересных фракталов)