Введение

В последние десятилетия математические методы всё настойчивее проникают в гуманитарные науки и в частности, в экономику. Благодаря математике и её эффективному применению можно надеяться на экономический рост и процветание государства. Эффективное, оптимальное развитие невозможно без использования математики.

Целью данной работы является изучение применения разностных уравнений в экономической сфере общества.

Перед данной работой ставятся следующие задачи: определение понятия разностных уравнений; рассмотрение линейных разностных уравнений первого и второго порядка и их применение в экономике.

При работе над курсовым проектом были использованы доступные для изучения материалы учебных пособий по экономике, математическому анализу, работы ведущих экономистов и математиков, справочные издания, научные и аналитические статьи, опубликованные в Интернет - изданиях.

Разностные уравнения

§1. Основные понятия и примеры разностных уравнений

Разностные уравнения играют большую роль в экономической теории. Многие экономические законы доказывают с помощью именно этих уравнений. Разберем основные понятия разностных уравнений.

Пусть время t выступает как независимая переменная, а зависимая переменная определяется для времени t, t-1, t-2 и т.д.

Обозначим через значение в момент времени t; через - значение функции в момент, сдвинутый назад на единицу (например, в предыдущем часу, на предыдущей неделе и т.д.); через - значение функции y в момент, сдвинутый на две единицы назад, и т.д.

Уравнение

где - постоянные, называется разностным неоднородным уравнением n-го порядка с постоянными коэффициентами.

Уравнение

В котором =0, называется разностным однородным уравнением n-го порядка с постоянными коэффициентами. Решить разностное уравнение n-го порядка - значит найти функцию, которая обращает это уравнение в верное тождество.

Решение, в котором отсутствует произвольная постоянная, называется частным решением разностного уравнения; если же в решении есть произвольная постоянная, то оно называется общим решением. Можно доказать следующие теоремы.

Теорема 1. Если однородное разностное уравнение (2) имеет решения и, то решением будет также функция

где и - произвольные постоянные.

Теорема 2. Если - частное решение неоднородного разностного уравнения (1) и - общее решение однородного уравнения (2), то общим решением неоднородного уравнения (1) будет функция

Произвольные постоянные. Эти теоремы сходны с теоремами для дифференциальных уравнений. Системой линейных разностных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами называется система вида

где - вектор из неизвестных функций, - вектор из известных функций.

Есть матрица размера nn.

Эта система может быть решена сведением к разностному уравнению n-го порядка по аналогии с решением системы дифференциальных уравнений.

§ 2. Решение разностных уравнений

Решение разностного уравнения первого порядка. Рассмотрим неоднородное разностное уравнение

Соответствующее однородное уравнение есть

Проверим, будет ли функция

решением уравнения (3).

Подставляя в уравнение (4), получаем

Следовательно, есть решение уравнения (4).

Общее решение уравнения (4) есть функция

где C - произвольная постоянная.

Пусть - частное решение неоднородного уравнения (3). Тогда общее решение разностного уравнения (3) есть функция

Найдем частное решение разностного уравнения (3), если f(t)=c, где c - некоторая переменная.

Будем искать решение в виде постоянной m. Имеем

Подставив эти постоянные в уравнение

получаем

Следовательно, общее решение разностного уравнения

Пример1 . Найти с помощью разностного уравнения формулу прироста денежного вклада А в сбербанке, положенного под p % годовых.

Решение . Если некоторая сумма положена в банк под сложный процент p, то к концу года t её размер составит

Это однородное разностное уравнение первого порядка. Его решение

где C - некоторая постоянная, которую можно рассчитать по начальным условиям.

Если принять, то C=A, откуда

Это известная формула подсчета прироста денежного вклада, положенного в сбербанк под сложный процент.

Решение разностного уравнения второго порядка. Рассмотрим неоднородное разностное уравнение второго порядка

и соответствующее однородное уравнение

Если k является корнем уравнения

есть решение однородного уравнения (6).

Действительно, подставляя в левую часть уравнения (6) и учитывая (7), получаем

Таким образом, если k - корень уравнения (7), то - решение уравнения (6). Уравнение (7) называется характеристическим уравнением для уравнения (6). Если дискриминант характеристическое уравнение (7) больше нуля, то уравнение (7) имеет два разных действительных корня и, а общее решение однородного уравнения (6) имеет следующий вид.

Применение уравнений широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Уравнения человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Разностное уравнение представляет собой уравнение, связывающее значение некоторой неизвестной функции в любой точке с её значением в одной или нескольких точках, отстоящих от данной на определенный интервал. Пример:

\[Г (z+1) = zГ(z)\]

Для разностных уравнений с постоянными коэффициентами существуют детально разработанные методы нахождения решения в замкнутой форме. Неоднородное и однородное разностные уравнения n-го порядка задаются соответственно уравнениями, где \ постоянные коэффициенты.

Однородные разностные уравнения.

Рассмотрим уравнение n-го порядка

\[(a_nE^n +a{n-1}E^n1 + \cdots +a_1Е + a_1)y(k) = 0 \]

Предлагаемое решение следует искать в виде:

где \ - подлежащая определению постоянная величина. Вид предполагаемого решения, задаваемый уравнением, не является наиболее распространенным. Допустимые значения \ служат корнями многочлена от \[ е^r.\] При\[ \beta = е^r \]предполагаемое решение становится таким:

где \[\beta\] - подлежащая определению постоянная величина. Подставляя уравнение и учитывая \, получим следующее характеристическое уравнение:

Неоднородные разностные уравнения. Метод неопределенных коэффициентов. Рассмотрим разностное уравнение n-го порядка

\[ (a_nЕn +а_{n-1}Еn^-1+\cdots+ а_1Е +a_1)y(k) =F(k) \]

Ответ имеет следующий вид:

Где можно решить разностное уравнение онлайн?

Решить уравнение вы можете на нашем сайте https://сайт. Бесплатный онлайн решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать - это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей групе Вконтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.

РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ - уравнения, содержащие конечные разности искомой функции. (Конечная разность определяется как соотношение, связывающее дискретный набор значений функции y = f(x), соответствующих дискретной последовательности аргументов x1, x2, ..., xn.) В экономических исследованиях значения величин часто берутся в определенные дискретные моменты времени.

Напр., о выполнении плана судят по показателям на конец планируемого периода. Поэтому вместо скорости изменения какой-либо величины df/dt приходится брать среднюю скорость за определенный конечный интервал времени Δf/Δt. Если выбрать масштаб времени так, что длина рассматриваемого периода равна 1, то скорость изменения величины можно представить как разность

y = y(t+1) – y(t),

которую часто называют первой разностью. При этом различают правую и левую разности, в частности

y = y(t) – y(t–1)

Левая, а приведенная выше - правая. Можно определить вторую разность:

Δ(Δy) = Δy(t + 1) – Δy(t) = y(t + 2) –

– 2y(t + 1) + y(t)

и разности высших порядков Δn.

Теперь можно определить Р. у. как уравнение, связывающее между собой конечные разности в выбранной точке:

f = 0.

Р. у. всегда можно рассматривать как соотношение, связывающее значения функции в ряде соседних точек

y(t), y(t+1), ..., y(t+n).

При этом разность между последним и первым моментами времени называется порядком уравнения.

При численном решении дифференциальных уравнений их часто заменяют разностными. Это возможно, если решение Р. у. стремится к решению соответствующего дифференциального уравнения, когда интервал Δt стремится к нулю.

При исследовании функций многих переменных по аналогии с частными производными (см. Производная) вводятся также частные разности.

Линейные разностные уравнения первого порядка

y(x + 1) − ay(x) = 0. Линейное однородное разностное уравнение первого порядка с постоянными коэффициентами.

y(x + 1) − ay(x) = f(x). Линейное неоднородное разностное уравнение первого порядка с постоянными коэффициентами.

y(x + 1) − xy(x) = 0.

y(x + 1) − a(x − b)(x − c)y(x) = 0.

y(x + 1) − R(x)y(x) = 0, где R(x) -- рациональная функция.

y(x + 1) − f(x)y(x) = 0.

y(x + a) − by(x) = 0.

y(x + a) − by(x) = f(x).

y(x + a) − bxy(x) = 0.

y(x + a) − f(x)y(x) = 0.

Линейные разностные уравнения второго порядка, yn = y(n)

yn+2 + ayn+1 + byn = 0. Линейное однородное разностное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

yn+2 + ayn+1 + byn = fn. Линейное неоднородное разностное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

y(x + 2) + ay(x + 1) + by(x) = 0. Линейное однородное разностное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

y(x + 2) + ay(x + 1) + by(x) = f(x). Линейное неоднородное разностное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

y(x + 2) + a(x + 1)y(x + 1) + bx(x + 1)y(x) = 0.

Контрольные вопросы:

1. Какая функция называется сеточной?

2. Какое уравнение называется разностным?

3. Какие уравнения называются разностными уравнениями 1-го порядка?

4. Как находится общее решение неоднородного разностного уравнения 1-го порядка?

5. Какое решение разностного уравнения называется фундаментальным?

6. Почему общее решение однородного уравнения с постоянными коэффициентами имеет вид геометрической прогрессии?

Задания.

1. Написать процедуру решения разностного уравнения первого порядка с начальным условием .

2. Для заданного уравнения найти общее и частное решение аналитически.

3. Сравнить результаты вычислений по рекуррентной формуле с аналитическим решением.

4. Выяснить, как влияет на результат возмущение начального условия, коэффициентов уравнения, правой части.

				Указания

Найдем общее решение разностного уравнения 1-го порядка

. (1)

Частное решение однородного уравнения при получим, используя рекуррентную формулу: . Поскольку значение Y в каждом следующем узле сетки удваивается, получается геометрическая прогрессия со знаменателем q=2:

Частное решение неоднородного уравнения найдем в виде:, где А - неопределенный коэффициент. Тогда , , и, приравняв полученное значение к заданной правой части, найдем неопределенный коэффициент A=. Окончательно, общее решение: .

Используя начальное условие , находим константу: . Окончательно, частное решение при заданном начальном условии:

.

Для исследования устойчивости решения к возмущению самого решения и начального условия рассмотрим следующее уравнение:

с возмущенным начальным условием

(здесь - величина возмущения). Вычитая исходное уравнение (1), получим разностное уравнение для возмущения:

с начальным условием . Решение этого уравнения имеет вид: , т.е. даже малое возмущение в каком-либо узле экспоненциально растет с увеличением номера узла.

Студенту необходимо проиллюстрировать сказанное выше: исследовать влияние возмущений начального условия, правых частей и коэффициентов уравнения, изменив рекуррентную формулу.

Вариант, в соответствии с номером студента по списку в журнале, необходимо решить на языке программирования C++ (допускается использование среды Builder) или Pascal (допускается использование среды Delphi).

1. Рекуррентная формула для получения численного решения.
2. Аналитическое решение разностного уравнения. Общее решение и частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям.
3. Исследовать устойчивость решения к возмущению начального условия и решения аналитически.

б) при возмущении коэффициентов уравнения;

в) при возмущении правой части.

Тема:Разностные уравнения 2 порядка

Контрольные вопросы:

1. Какие уравнения называются разностными уравнениями 2-го порядка?

2. Что такое характеристическое уравнение?

3. Как выглядит частное решение однородного разностного уравнения 2-го порядка с действительными корнями характеристического уравнения?

4. Как выглядит частное решение однородного разностного уравнения 2-го порядка с комплексными корнями характеристического уравнения?

5. Как находится общее решение неоднородного разностного уравнения 2-го порядка?

6. Что такое численное и аналитическое решение разностного уравнения 2-го порядка?

7. Какие задачи называются хорошо обусловленными?

Задания

1. Написать процедуру решения разностной краевой задачи для уравнения второго порядка с граничными условиями , .

2. Для заданного уравнения найти общее и частное решение аналитически и проверить критерий обусловленности.

3. Сравнить результаты вычислений по рекуррентной формуле с аналитическим решением.

4. Выяснить, как влияет на результат возмущение граничных условий и правой части.

						Найдем общее решение разностного уравнения 2-го порядка можно найти выбором произвольных постоянных . Наряду с задачами Коши, для уравнений 2-го порядка рассматриваются также двухточечные краевые задачи, в которых заданы значения сеточной функции в двух узлах, расположенных не подряд, а на концах некоторого конечного отрезка: (граничные условия ). Аналитическое решение такой задачи можно получить подходящим выбором произвольных постоянных в общем решении. Однако, в отличие от задачи с начальными условиями, краевая задача не обязательно будет однозначно разрешимой. Поэтому большое значение имеет выяснение класса краевых задач, которые обладают однозначной разрешимостью и слабой чувствительностью к возмущению (вследствие ошибок округления) правых частей и граничных условий. Такие задачи будем называть хорошо обусловленными Рассмотрим пример плохо обусловленной краевой задачи Постановка задачи. Исходное разностное уравнение и граничные условия. Процедура для получения численного решения. Аналитическое решение разностной краевой задачи. Общее решение и частное решение, удовлетворяющее заданным граничным условиям. Проверка критерия обусловленности. Графики численного решения и аналитического решения (в одних осях). График разности численного и аналитического решения. Графики возмущенных численных решений и разности возмущенного и невозмущенного решений: а) при возмущении начального условия; б) при возмущении правой части. Вывод об обусловленности краевой задачи.

Часто одно лишь упоминание дифференциальных уравнений вызывает у студентов неприятное чувство. Почему так происходит? Чаще всего потому, что при изучении основ материала возникает пробел в знаниях, из-за которого дальнейшее изучение диффуров становиться просто пыткой. Ничего не понятно, что делать, как решать, с чего начать?

Однако мы постараемся вам показать, что диффуры – это не так сложно, как кажется.

Основные понятия теории дифференциальных уравнений

Со школы нам известны простейшие уравнения, в которых нужно найти неизвестную x. По сути дифференциальные уравнения лишь чуточку отличаются от них – вместо переменной х в них нужно найти функцию y(х) , которая обратит уравнение в тождество.

Дифференциальные уравнения имеют огромное прикладное значение. Это не абстрактная математика, которая не имеет отношения к окружающему нас миру. С помощью дифференциальных уравнений описываются многие реальные природные процессы. Например, колебания струны, движение гармонического осциллятора, посредством дифференциальных уравнений в задачах механики находят скорость и ускорение тела. Также ДУ находят широкое применение в биологии, химии, экономике и многих других науках.

Дифференциальное уравнение (ДУ ) – это уравнение, содержащее производные функции y(х), саму функцию, независимые переменные и иные параметры в различных комбинациях.

Существует множество видов дифференциальных уравнений: обыкновенные дифференциальные уравнения, линейные и нелинейные, однородные и неоднородные, дифференциальные уравнения первого и высших порядков, дифуры в частных производных и так далее.

Решением дифференциального уравнения является функция, которая обращает его в тождество. Существуют общие и частные решения ДУ.

Общим решением ДУ является общее множество решений, обращающих уравнение в тождество. Частным решением дифференциального уравнения называется решение, удовлетворяющее дополнительным условиям, заданным изначально.

Порядок дифференциального уравнения определяется наивысшим порядком производных, входящих в него.

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Обыкновенные дифференциальные уравнения – это уравнения, содержащие одну независимую переменную.

Рассмотрим простейшее обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка. Оно имеет вид:

Решить такое уравнение можно, просто проинтегрировав его правую часть.

Примеры таких уравнений:

Уравнения с разделяющимися переменными

В общем виде этот тип уравнений выглядит так:

Приведем пример:

Решая такое уравнение, нужно разделить переменные, приведя его к виду:

После этого останется проинтегрировать обе части и получить решение.

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Такие уравнения имеют вид:

Здесь p(x) и q(x) – некоторые функции независимой переменной, а y=y(x) – искомая функция. Приведем пример такого уравнения:

Решая такое уравнение, чаще всего используют метод вариации произвольной постоянной либо представляют искомую функцию в виде произведения двух других функций y(x)=u(x)v(x).

Для решения таких уравнений необходима определенная подготовка и взять их “с наскока” будет довольно сложно.

Пример решения ДУ с разделяющимися переменными

Вот мы и рассмотрели простейшие типы ДУ. Теперь разберем решение одного из них. Пусть это будет уравнение с разделяющимися переменными.

Сначала перепишем производную в более привычном виде:

Затем разделим переменные, то есть в одной части уравнения соберем все "игреки", а в другой – "иксы":

Теперь осталось проинтегрировать обе части:

Интегрируем и получаем общее решение данного уравнения:

Конечно, решение дифференциальных уравнений – своего рода искусство. Нужно уметь понимать, к какому типу относится уравнение, а также научиться видеть, какие преобразования нужно с ним совершить, чтобы привести к тому или иному виду, не говоря уже просто об умении дифференцировать и интегрировать. И чтобы преуспеть в решении ДУ, нужна практика (как и во всем). А если у Вас в данный момент нет времени разбираться с тем, как решаются дифференциальные уравнения или задача Коши встала как кость в горле или вы не знаете, как правильно оформить презентацию , обратитесь к нашим авторам. В сжатые сроки мы предоставим Вам готовое и подробное решение, разобраться в подробностях которого Вы сможете в любое удобное для Вас время. А пока предлагаем посмотреть видео на тему "Как решать дифференциальные уравнения":