Параллельный перенос.

ПЕРЕНОС ВДОЛЬ ОСИ ОРДИНАТ

f(x) => f(x) - b
Пусть требуется построить график функции у = f(х) - b. Нетрудно заметить, что ординаты этого графика для всех значений x на |b| единиц меньше соответствующих ординат графика функций у = f(х) при b>0 и на |b| единиц больше - при b 0 или вверх при b Для построения графика функции y + b = f(x) следует построить график функции y = f(x) и перенести ось абсцисс на |b| единиц вверх при b>0 или на |b| единиц вниз при b

ПЕРЕНОС ВДОЛЬ ОСИ АБСЦИСС

f(x) => f(x + a)
Пусть требуется построить график функции у = f(x + a). Рассмотрим функцию y = f(x), которая в некоторой точке x = x1 принимает значение у1 = f(x1). Очевидно, функция у = f(x + a) примет такое же значение в точке x2, координата которой определяется из равенства x2 + a = x1, т.е. x2 = x1 - a, причем рассматриваемое равенство справедливо для совокупности всех значений из области определения функции. Следовательно, график функции у = f(x + a) может быть получен параллельным перемещением графика функции y = f(x) вдоль оси абсцисс влево на |a| единиц при a > 0 или вправо на |a| единиц при a Для построения графика функции y = f(x + a) следует построить график функции y = f(x) и перенести ось ординат на |a| единиц вправо при a>0 или на |a| единиц влево при a

Примеры:

1.y=f(x+a)

2.y=f(x)+b

Отражение.

ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА ФУНКЦИИ ВИДА Y = F(-X)

f(x) => f(-x)
Очевидно, что функции y = f(-x) и y = f(x) принимают равные значения в точках, абсциссы которых равны по абсолютной величине, но противоположны по знаку. Иначе говоря, ординаты графика функции y = f(-x) в области положительных (отрицательных) значений х будут равны ординатам графика функции y = f(x) при соответствующих по абсолютной величине отрицательных (положительных) значениях х. Таким образом, получаем следующее правило.
Для построения графика функции y = f(-x) следует построить график функции y = f(x) и отразить его относительно оси ординат. Полученный график является графиком функции y = f(-x)

ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА ФУНКЦИИ ВИДА Y = - F(X)

f(x) => - f(x)
Ординаты графика функции y = - f(x) при всех значениях аргумента равны по абсолютной величине, но противоположны по знаку ординатам графика функции y = f(x) при тех же значениях аргумента. Таким образом, получаем следующее правило.
Для построения графика функции y = - f(x) следует построить график функции y = f(x) и отразить его относительно оси абсцисс.

Примеры:

1.y=-f(x)

2.y=f(-x)

3.y=-f(-x)

Деформация.

ДЕФОРМАЦИЯ ГРАФИКА ВДОЛЬ ОСИ ОРДИНАТ

f(x) => k f(x)
Рассмотрим функцию вида y = k f(x), где k > 0. Нетрудно заметить, что при равных значениях аргумента ординаты графика этой функции будут в k раз больше ординат графика функции у = f(x) при k > 1 или 1/k раз меньше ординат графика функции y = f(x) при k Для построения графика функции y = k f(x) следует построить график функции y = f(x) и увеличить его ординаты в k раз при k > 1(произвести растяжение графика вдоль оси ординат) или уменьшить его ординаты в 1/k раз при k
k > 1 - растяжение от оси Ох
0 - сжатие к оси OX

ДЕФОРМАЦИЯ ГРАФИКА ВДОЛЬ ОСИ АБСЦИСС

f(x) => f(k x)
Пусть требуется построить график функции y = f(kx), где k>0. Рассмотрим функцию y = f(x), которая в произвольной точке x = x1 принимает значение y1 = f(x1). Очевидно, что функция y = f(kx) принимает такое же значение в точке x = x2, координата которой определяется равенством x1 = kx2, причем это равенство справедливо для совокупности всех значений х из области определения функции. Следовательно, график функции y = f(kx) оказывается сжатым (при k 1) вдоль оси абсцисс относительно графика функции y = f(x). Таким образом, получаем правило.
Для построения графика функции y = f(kx) следует построить график функции y = f(x) и уменьшить его абсциссы в k раз при k>1 (произвести сжатие графика вдоль оси абсцисс) или увеличить его абсциссы в 1/k раз при k
k > 1 - сжатие к оси Оу
0 - растяжение от оси OY

Работу выполнили Чичканов Александр, Леонов Дмитрий под руководством Ткач Т.В, Вязовова С.М, Островерховой И.В.
©2014

Показательная функция - это обобщение произведения n чисел, равных a :
y(n) = a n = a·a·a···a ,
на множество действительных чисел x :
y(x) = a x .
Здесь a - фиксированное действительное число, которое называют основанием показательной функции .
Показательную функцию с основанием a также называют экспонентой по основанию a .

Обобщение выполняется следующим образом.
При натуральном x = 1, 2, 3,... , показательная функция является произведением x множителей:
.
При этом она обладает свойствами (1.5-8) (), которые следуют из правил умножения чисел. При нулевом и отрицательных значениях целых чисел , показательную функцию определяют по формулам (1.9-10). При дробных значениях x = m/n рациональных чисел, , ее определяют по формуле(1.11). Для действительных , показательную функцию определяют как предел последовательности:
,
где - произвольная последовательность рациональных чисел, сходящаяся к x : .
При таком определении, показательная функция определена для всех , и удовлетворяет свойствам (1.5-8), как и для натуральных x .

Строгая математическая формулировка определения показательной функции и доказательство ее свойств приводится на странице «Определение и доказательство свойств показательной функции ».

Свойства показательной функции

Показательная функция y = a x , имеет следующие свойства на множестве действительных чисел () :
(1.1) определена и непрерывна, при , для всех ;
(1.2) при a ≠ 1 имеет множество значений ;
(1.3) строго возрастает при , строго убывает при ,
является постоянной при ;
(1.4) при ;
при ;
(1.5) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.8) ;
(1.9) ;
(1.10) ;
(1.11) , .

Другие полезные формулы.
.
Формула преобразования к показательной функции с другим основанием степени:

При b = e , получаем выражение показательной функции через экспоненту:

Частные значения

, , , , .

На рисунке представлены графики показательной функции
y(x) = a x
для четырех значений основания степени : a = 2 , a = 8 , a = 1/2 и a = 1/8 . Видно, что при a > 1 показательная функция монотонно возрастает. Чем больше основание степени a , тем более сильный рост. При 0 < a < 1 показательная функция монотонно убывает. Чем меньше показатель степени a , тем более сильное убывание.

Возрастание, убывание

Показательная функция, при является строго монотонной, поэтому экстремумов не имеет. Основные ее свойства представлены в таблице.

	y = a x , a > 1	y = a x , 0 < a < 1
Область определения	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Область значений	0 < y < + ∞	0 < y < + ∞
Монотонность	монотонно возрастает	монотонно убывает
Нули, y = 0	нет	нет
Точки пересечения с осью ординат, x = 0	y = 1	y = 1
	+ ∞	0
	0	+ ∞

Обратная функция

Обратной для показательной функции с основанием степени a является логарифм по основанию a .

Если , то
.
Если , то
.

Дифференцирование показательной функции

Для дифференцирования показательной функции, ее основание нужно привести к числу e , применить таблицу производных и правило дифференцирования сложной функции.

Для этого нужно использовать свойство логарифмов
и формулу из таблицы производных :
.

Пусть задана показательная функция:
.
Приводим ее к основанию e :

Применим правило дифференцирования сложной функции . Для этого вводим переменную

Тогда

Из таблице производных имеем (заменим переменную x на z ):
.
Поскольку - это постоянная, то производная z по x равна
.
По правилу дифференцирования сложной функции:
.

Производная показательной функции

.
Производная n-го порядка:
.
Вывод формул > > >

Пример дифференцирования показательной функции

Найти производную функции
y = 3 5 x

Решение

Выразим основание показательной функции через число e .
3 = e ln 3
Тогда
.
Вводим переменную
.
Тогда

Из таблицы производных находим:
.
Поскольку 5ln 3 - это постоянная, то производная z по x равна:
.
По правилу дифференцирования сложной функции имеем:
.

Ответ

Интеграл

Выражения через комплексные числа

Рассмотрим функцию комплексного числа z :
f(z) = a z
где z = x + iy ; i 2 = - 1 .
Выразим комплексную постоянную a через модуль r и аргумент φ :
a = r e i φ
Тогда


.
Аргумент φ определен не однозначно. В общем виде
φ = φ 0 + 2 πn ,
где n - целое. Поэтому функция f(z) также не однозначна. Часто рассматривают ее главное значение
.

Разложение в ряд

.

Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.

Какие из данных функций имеют обратную? Для таких функций найти обратные функции:

4.12. а)	y = x ;					б) y = 6 −3 x ;
г) y =						д) y = 2 x 3 +5 ;
4.13. а)	y = 4 x − 5 ;						y = 9 − 2 x − x 2 ;
	y = sign x ;						y =1 + lg(x + 2) ;

	y = 2 x 2 +1 ;
			x − 2
						при x < 0
в) y =		−x
						при x ≥ 0

Выяснить, какие из данных функций монотонны, какие – строго монотонны, а какие – ограничены:

4.14. а)

f (x) = c, c R ;

б) f (x ) = cos 2 x ;

в) f (x ) = arctg x ;

г) f (x ) = e 2 x ;

д) f (x ) = −x 2 + 2 x ;

е) f (x ) =

2x + 5

y = ctg7 x .

4.15. а)

f (x ) = 3− x

б) f (x ) =

f (x) =

x + 3

x + 6

x < 0,

3x + 5

г) f (x ) = 3 x 3 − x ;

− 10 при

f (x) =

д) f (x ) =

x 2 при

x ≥ 0;

x + 1

f (x ) = tg(sin x ).

4.2. Элементарные функции. Преобразование графиков функций

Напомним, что графиком функции f (x ) в декартовой прямоугольной системе координат Oxy называется множество всех точек плоскости с координатами (x , f (x )) .

Часто график функции y = f (x ) можно построить с помощью преобразований (сдвиг, растяжение) графика некоторой уже известной функции.

В частности, из графика функции y = f (x ) получается график функции:

1) y = f (x ) + a – сдвигом вдоль оси Oy на a единиц (вверх, если a > 0 , и вниз, если a < 0 ;

2) y = f (x −b ) – сдвигом вдоль оси Ox на b единиц (вправо, если b > 0 ,

и влево, если b < 0 ;

3) y = kf (x ) – растяжением вдоль оси Oy в k раз;

4) y = f (mx ) – сжатием по оси Ox в m раз;

5) y = − f (x ) – симметричным отражением относительно оси Ox ;

6) y = f (−x ) – симметричным отражением относительно оси Oy ;

7) y = f (x ) , следующим образом: часть графика, расположенная не

ниже оси Ox , остается без изменений, а «нижняя» часть графика симметрично отражается относительно оси Ox ;

8) y = f (x ) , следующим образом: правая часть графика (при x ≥ 0 )

остается без изменений, а вместо «левой» строится симметричное отражение «правой» относительно оси Oy .

Основными элементарными функциями называются:

1) постоянная функция y = c ;

2) степенная функция y = x α , α R ;

3) показательная функция y = a x , a ≠ 0, a ≠1 ;

4) логарифмическая функция y = log a x , a > 0, a ≠ 1 ;

5) тригонометрические функции y = sin x , y = cos x , y = tg x ,

y = ctg x , y = sec x (где sec x = cos 1 x ), y = cosec x (где cosec x = sin 1 x );

6) обратные тригонометрические функции y = arcsin x , y = arccos x , y = arctg x , y = arcctg x .

Элементарными функциями называются функции, полученные из основных элементарных функций с помощью конечного числа арифметических операций (+, − , ÷) и композиций (т.е. образования сложных функций f g ).

Пример 4.6. Построить график функции

1) y = x 2 + 6 x + 7 ; 2) y = −2sin 4 x .

Решение: 1) путем выделения полного квадрата функция преобразуется к виду y = (x +3) 2 − 2 , поэтому график данной функции можно получить из графика функции y = x 2 . Достаточно сначала сместить параболу y = x 2 на три единицы влево (получим график функции y = (x +3) 2 ), а затем на две единицы вниз (рис. 4.1);

	стандартную	синусоиду						y = sin x	в четыре раза по оси		Ox ,
получим график функции y = sin 4 x (рис. 4.2).
										y= sin4x
										y=sin x

Растянув полученный график в два раза вдоль оси Oy , получим график функции y = 2sin 4 x (рис. 4.3). Осталось отразить последний график относительно оси Ox . Результатом будет искомый график(см. рис. 4.3).

						y= 2sin4x

y=– 2sin4 x

Задачи для самостоятельного решения

Построить графики следующих функции, исходя из графиков основных элементарных функций:

4.16. а) y = x 2 −6 x +11 ;

4.17. а) y = −2sin(x −π ) ;

4.18. а) y = − 4 x −1 ;

4.19. а) y = log 2 (−x ) ;

4.20. a) y = x +5 ;

4.21. а) y = tg x ;

4.22. а) y = sign x ;

4.23. а) y = x x + + 4 2 ;

y = 3 − 2 x − x 2 .

y = 2cos 2 x .

, Конкурс «Презентация к уроку»

Презентация к уроку

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Цель урока: Определить закономерности преобразования графиков функций.

Задачи:

Образовательная:

• Научить обучающихся строить графики функций путем преобразования графика данной функции, применяя параллельный перенос, сжатие (растяжение), различные виды симметрии.

Воспитательная:

• Воспитывать личностные качества обучающихся (умение слушать), доброжелательность по отношению к окружающим, внимательность, аккуратность, дисциплинированность, умение работать в группе.
• Воспитывать интерес к предмету и потребности в приобретении знаний.

Развивающая:

• Развивать пространственное воображение и логическое мышление обучающихся, умение быстро ориентироваться в обстановке; развивать сообразительность, находчивость, тренировать память.

Оборудование:

• Мультимедийная установка: компьютер, проектор.

Литература:

1. Башмаков, М. И. Математика [Текст]: учебник для учреждений нач. и сред. проф. образования/ М. И. Башмаков.- 5-е изд., испр. – М.: Издательский центр “Академия”, 2012. – 256 с.
2. Башмаков, М. И. Математика. Задачник [Текст]: учеб. пособие для образоват. учреждений нач. и сред. проф. образования/ М. И. Башмаков.– М.: Издательский центр “Академия”, 2012. – 416 с.

План урока:

1. Организационный момент (3 мин).
2. Актуализация знаний (7 мин).
3. Объяснение нового материала (20 мин).
4. Закрепление нового материала (10 мин).
5. Итог урока (3 мин).
6. Домашнее задание (2 мин).

Ход урока

1. Орг. момент (3 мин).

Проверка присутствующих.

Сообщение цели урока.

Основные свойства функций как зависимостей между переменными величинами не должны существенно меняться при изменении способа измерения этих величин, т. е. при изменении масштаба измерения и начала отсчета. Однако за счет более рационального выбора способа измерения переменных величин обычно удается упростить запись зависимости между ними, привести эту запись к некоторому стандартному виду. На геометрическом языке изменение способа измерения величин означает некоторые простые преобразования графиков, к изучению которых мы сегодня и перейдем.

2. Актуализация знаний (7 мин).

Прежде чем будем говорить о преобразованиях графиков, повторим пройденный материал.

Устная работа. (Слайд 2).

Даны функции:

3. Охарактеризуйте графики функций: , , , .

3. Объяснение нового материала (20 мин).

Простейшие преобразования графиков – это их параллельный перенос, сжатие (растяжение) и некоторые виды симметрии. Некоторые преобразования представлены в таблице (Приложение 1) , (Слайд 3).

Работа в группах.

Каждая группа строит графики заданных функций и представляет результат для обсуждения.

Функция	Преобразование графика функции	Примеры функций	Слайд
	Оу на А единиц вверх, если A >0, и на |A| единиц вниз, если А <0.	,	(Слайд 4)
	Параллельный перенос его вдоль оси Ох на а единиц вправо, если а >0, и на -а единиц влево, если а <0.	,	(Слайд 5)
,