Úvod

V posledných desaťročiach matematické metódy čoraz viac prenikajú do humanitných vied a najmä do ekonómie. Vďaka matematike a jej efektívnej aplikácii možno dúfať v ekonomický rast a prosperitu štátu. Efektívny, optimálny rozvoj nie je možný bez použitia matematiky.

Cieľom tejto práce je študovať aplikáciu diferenčných rovníc v ekonomickej sfére spoločnosti.

Táto práca má tieto úlohy: definovať pojem diferenčných rovníc; úvaha o lineárnych diferenčných rovniciach prvého a druhého rádu a ich aplikácia v ekonómii.

Pri práci na projekte kurzu boli použité materiály dostupné na štúdium z učebníc ekonómie, matematickej analýzy, prác popredných ekonómov a matematikov, referenčných kníh, vedeckých a analytických článkov publikovaných v internetových publikáciách.

Diferenčné rovnice

§1. Základné pojmy a príklady diferenčných rovníc

Diferenčné rovnice hrajú dôležitú úlohu v ekonomickej teórii. Pomocou týchto rovníc je dokázaných veľa ekonomických zákonov. Pozrime sa na základné pojmy diferenčných rovníc.

Nech čas t pôsobí ako nezávislá premenná a závislá premenná je definovaná pre čas t, t-1, t-2 atď.

Označme hodnotou v čase t; cez - hodnota funkcie v momente posunutá o jednu späť (napríklad v predchádzajúcej hodine, v predchádzajúcom týždni atď.); cez - hodnota funkcie y momentálne posunutá o dve jednotky späť atď.

Rovnica

kde sú konštanty, sa nazýva nehomogénna diferenčná rovnica n-tého rádu s konštantnými koeficientmi.

Rovnica

V ktorej =0 sa nazýva homogénna diferenčná rovnica n-tého rádu s konštantnými koeficientmi. Vyriešiť diferenčnú rovnicu n-tého rádu znamená nájsť funkciu, ktorá zmení túto rovnicu na správnu identitu.

Riešenie, v ktorom nie je ľubovoľná konštanta, sa nazýva čiastočné riešenie diferenčnej rovnice; ak riešenie obsahuje ľubovoľnú konštantu, potom sa nazýva všeobecné riešenie. Nasledujúce vety sa dajú dokázať.

Veta 1. Ak má homogénna diferenčná rovnica (2) riešenia a, riešením bude aj funkcia

kde a sú ľubovoľné konštanty.

Veta 2. Ak je konkrétnym riešením nehomogénnej diferenčnej rovnice (1) a je všeobecným riešením homogénnej rovnice (2), potom všeobecným riešením nehomogénnej rovnice (1) bude funkcia

Ľubovoľné konštanty. Tieto vety sú podobné tým pre diferenciálne rovnice. Systém lineárnych diferenčných rovníc prvého rádu s konštantnými koeficientmi je systémom tvaru

kde je vektor neznámych funkcií, je vektor známych funkcií.

Existuje matica veľkosti nn.

Tento systém možno vyriešiť jeho redukciou na diferenčnú rovnicu n-tého rádu analogicky s riešením systému diferenciálnych rovníc.

§ 2. Riešenie diferenčných rovníc

Riešenie diferenčnej rovnice prvého rádu. Zvážte nehomogénnu diferenčnú rovnicu

Zodpovedajúca homogénna rovnica je

Skontrolujeme, či funkcia bude

riešenie rovnice (3).

Dosadením do rovnice (4) dostaneme

Preto existuje riešenie rovnice (4).

Všeobecným riešením rovnice (4) je funkcia

kde C je ľubovoľná konštanta.

Nech je partikulárne riešenie nehomogénnej rovnice (3). Potom je všeobecným riešením diferenčnej rovnice (3) funkcia

Nájdime konkrétne riešenie diferenčnej rovnice (3), ak f(t)=c, kde c je nejaká premenná.

Budeme hľadať riešenie v tvare konštanty m. Máme

Dosadenie týchto konštánt do rovnice

dostaneme

Preto je všeobecné riešenie diferenčnej rovnice

Príklad 1. Pomocou diferenčnej rovnice nájdite vzorec na zvýšenie hotovostného vkladu A ​​v sporiteľni, uloženého na p% ročne.

Riešenie. Ak je určitá suma uložená v banke za zložený úrok p, do konca roka t bude jej výška

Toto je homogénna diferenčná rovnica prvého rádu. Jeho rozhodnutie

kde C je nejaká konštanta, ktorú možno vypočítať z počiatočných podmienok.

Ak prijmeme, potom C=A, odkiaľ

Ide o známy vzorec na výpočet rastu peňažného vkladu uloženého v sporiteľni so zloženou úrokovou sadzbou.

Riešenie diferenčnej rovnice druhého rádu. Uvažujme nehomogénnu diferenčnú rovnicu druhého rádu

a zodpovedajúca homogénna rovnica

Ak k je koreň rovnice

je riešením homogénnej rovnice (6).

Skutočne, dosadením do ľavej strany rovnice (6) a zohľadnením (7) dostaneme

Ak je teda k koreňom rovnice (7), potom je riešením rovnice (6). Rovnica (7) sa nazýva charakteristická rovnica pre rovnicu (6). Ak je diskriminačná charakteristická rovnica (7) väčšia ako nula, potom rovnica (7) má dva rôzne reálne korene a všeobecné riešenie homogénnej rovnice (6) má nasledujúci tvar.

Používanie rovníc je v našich životoch veľmi rozšírené. Používajú sa pri mnohých výpočtoch, stavbe konštrukcií a dokonca aj v športe. Človek používal rovnice v staroveku a odvtedy sa ich používanie len zvyšuje. Diferenčná rovnica je rovnica, ktorá spája hodnotu nejakej neznámej funkcie v ľubovoľnom bode s jej hodnotou v jednom alebo viacerých bodoch umiestnených v určitom intervale od daného. Príklad:

\[Г (z+1) = zГ(z)\]

Pre diferenčné rovnice s konštantnými koeficientmi existujú podrobné metódy na nájdenie riešenia v uzavretej forme. Nehomogénne a homogénne diferenčné rovnice n-tého rádu sú dané rovnicami, kde \ sú konštantné koeficienty.

Homogénne diferenčné rovnice.

Zvážte rovnicu n-tého rádu

\[(a_nE^n +a(n-1)E^n1 + \cdots +a_1E + a_1)y(k) = 0 \]

Navrhované riešenie je potrebné hľadať vo forme:

kde \ je konštantná hodnota, ktorá sa má určiť. Typ navrhovaného riešenia daný rovnicou nie je najbežnejší. Prípustné hodnoty \ slúžia ako korene polynómu \[ e^r.\] Keď \[ \beta = e^r \] očakávané riešenie bude:

kde \[\beta\] je konštantná hodnota, ktorá sa má určiť. Nahradením rovnice a zohľadnením \ získame nasledujúcu charakteristickú rovnicu:

Nehomogénne diferenčné rovnice. Metóda neurčených koeficientov. Uvažujme diferenčnú rovnicu n-tého rádu

\[ (a_nEn +a_(n-1)En^-1+\cdots+ a_1E +a_1)y(k) =F(k) \]

Odpoveď vyzerá takto:

Kde môžem riešiť diferenčné rovnice online?

Rovnicu môžete vyriešiť na našej webovej stránke https://site. Bezplatný online riešiteľ vám umožní vyriešiť online rovnice akejkoľvek zložitosti v priebehu niekoľkých sekúnd. Všetko, čo musíte urobiť, je jednoducho zadať svoje údaje do riešiteľa. Na našej stránke si môžete pozrieť aj video návod a naučiť sa riešiť rovnicu. A ak máte stále otázky, môžete sa ich opýtať v našej skupine VKontakte http://vk.com/pocketteacher. Pridajte sa k našej skupine, vždy vám radi pomôžeme.

DIFERENČNÉ ROVNICE - rovnice obsahujúce konečné rozdiely požadovanej funkcie. (Konečný rozdiel je definovaný ako vzťah týkajúci sa diskrétnej množiny hodnôt funkcie y = f(x) zodpovedajúcich diskrétnej postupnosti argumentov x1, x2, ..., xn.) V ekonomickom výskume sú hodnoty množstiev sa často odoberajú v určitých diskrétnych bodoch v čase.

Napríklad realizácia plánu sa posudzuje podľa ukazovateľov na konci plánovacieho obdobia. Preto namiesto rýchlosti zmeny akejkoľvek hodnoty df/dt treba vziať priemernú rýchlosť za určitý konečný časový interval Δf/Δt. Ak zvolíme časové meradlo tak, aby dĺžka sledovaného obdobia bola rovná 1, potom rýchlosť zmeny veličiny môže byť vyjadrená ako rozdiel

y = y(t+1) – y(t),

čo sa často nazýva prvý rozdiel. V tomto prípade sa rozlišujú najmä pravé a ľavé rozdiely

y = y(t) – y(t–1)

Ten vľavo a ten hore je vpravo. Môžeme definovať druhý rozdiel:

Δ(Δy) = Δy(t + 1) – Δy(t) = y(t + 2) –

– 2r(t + 1) + y(t)

a rozdiely vyššieho rádu Δn.

Teraz môžete určiť R. at. ako rovnica spájajúca konečné rozdiely vo vybranom bode:

f = 0.

RU. možno vždy považovať za vzťah spájajúci hodnoty funkcie v niekoľkých susedných bodoch

y(t), y(t+1), ..., y(t+n).

V tomto prípade sa rozdiel medzi posledným a prvým časovým momentom nazýva poradie rovnice.

Pri numerickom riešení diferenciálnych rovníc sa často nahrádzajú diferenčnými rovnicami. To je možné, ak rozhodnutie R. u. má tendenciu riešiť zodpovedajúcu diferenciálnu rovnicu, keď má interval Δt tendenciu k nule.

Pri štúdiu funkcií mnohých premenných sa analogicky s parciálnymi deriváciami (pozri Derivácia) zavádzajú aj parciálne rozdiely.

Lineárne diferenčné rovnice prvého rádu

y(x + 1) − ay(x) = 0. Lineárna homogénna diferenčná rovnica prvého rádu s konštantnými koeficientmi.

y(x + 1) − ay(x) = f(x). Lineárna nehomogénna diferenčná rovnica prvého rádu s konštantnými koeficientmi.

y(x + 1) − xy(x) = 0.

y(x + 1) − a(x − b)(x − c)y(x) = 0.

y(x + 1) − R(x)y(x) = 0, kde R(x) je racionálna funkcia.

y(x + 1) − f(x)y(x) = 0.

y(x + a) − by (x) = 0.

y(x + a) − by(x) = f(x).

y(x + a) − bxy(x) = 0.

y(x + a) − f(x)y(x) = 0.

Lineárne diferenčné rovnice druhého rádu, yn = y(n)

yn+2 + ayn+1 + byn = 0. Lineárna homogénna diferenčná rovnica druhého rádu s konštantnými koeficientmi.

yn+2 + ayn+1 + byn = fn. Lineárna nehomogénna diferenčná rovnica druhého rádu s konštantnými koeficientmi.

y(x + 2) + ay(x + 1) + by(x) = 0. Lineárna homogénna diferenčná rovnica druhého rádu s konštantnými koeficientmi.

y(x + 2) + ay(x + 1) + by(x) = f(x). Lineárna nehomogénna diferenčná rovnica druhého rádu s konštantnými koeficientmi.

y(x + 2) + a(x + 1)y(x + 1) + bx(x + 1)y(x) = 0.

Kontrolné otázky:

1. Aká funkcia sa nazýva mriežková funkcia?

2. Ktorá rovnica sa nazýva diferenčná rovnica?

3. Aké rovnice sa nazývajú diferenčné rovnice 1. rádu?

4. Ako nájsť všeobecné riešenie nehomogénnej diferenčnej rovnice 1. rádu?

5. Ktoré riešenie diferenčnej rovnice sa nazýva fundamentálne?

6. Prečo má všeobecné riešenie homogénnej rovnice s konštantnými koeficientmi tvar geometrickej postupnosti?

Úlohy.

1. Napíšte postup riešenia diferenčnej rovnice prvého rádu s počiatočnou podmienkou.

2. Analyticky nájdite pre danú rovnicu všeobecné a partikulárne riešenia.

3. Porovnajte výsledky výpočtov pomocou opakujúceho sa vzorca s analytickým riešením.

4. Zistite, ako porucha počiatočnej podmienky, koeficienty rovnice a pravá strana ovplyvňujú výsledok.

				Inštrukcie

Poďme nájsť všeobecné riešenie diferenčnej rovnice 1. rádu

. (1)

Získame čiastočné riešenie homogénnej rovnice pre použitie opakujúceho sa vzorca: . Keďže hodnota Y sa v každom nasledujúcom uzle mriežky zdvojnásobí, získa sa geometrická postupnosť s menovateľom q=2:

Nájdeme konkrétne riešenie nehomogénnej rovnice v tvare: , kde A je neurčený koeficient. Potom , , a prirovnaním výslednej hodnoty k danej pravej strane nájdeme neurčený koeficient A=. Nakoniec, všeobecné riešenie je: .

Pomocou počiatočnej podmienky nájdeme konštantu: . Nakoniec konkrétne riešenie pre danú počiatočnú podmienku:

.

Ak chcete študovať stabilitu riešenia voči poruche samotného riešenia a počiatočnej podmienky, zvážte nasledujúcu rovnicu:

s narušeným počiatočným stavom

(tu je veľkosť rušenia). Odčítaním pôvodnej rovnice (1) dostaneme diferenčnú rovnicu pre poruchu:

s počiatočnou podmienkou. Riešením tejto rovnice je: , t.j. aj malá porucha v ktoromkoľvek uzle rastie exponenciálne so zvyšujúcim sa počtom uzlov.

Študent musí ilustrovať vyššie uvedené: preskúmať vplyv porúch počiatočného stavu, pravej strany a koeficientov rovnice zmenou vzorca opakovania.

Voľba podľa čísla študenta na zozname v časopise musí byť riešená v programovacom jazyku C++ (povolené je použitie prostredia Builder) alebo Pascal (je povolené používanie prostredia Delphi).

1. Opakujúci sa vzorec na získanie numerického riešenia.
2. Analytické riešenie diferenčnej rovnice. Všeobecné riešenie a konkrétne riešenie, ktoré spĺňa dané počiatočné podmienky.
3. Analyticky skúmajte stabilitu roztoku voči poruchám počiatočného stavu a roztoku.

b) keď sú koeficienty rovnice narušené;

c) keď je pravá strana narušená.

Téma: Diferenčné rovnice 2. rádu

Kontrolné otázky:

1. Aké rovnice sa nazývajú diferenčné rovnice 2. rádu?

2. Čo je to charakteristická rovnica?

3. Ako vyzerá konkrétne riešenie homogénnej diferenčnej rovnice 2. rádu s reálnymi koreňmi charakteristickej rovnice?

4. Ako vyzerá konkrétne riešenie homogénnej diferenčnej rovnice 2. rádu so zložitými koreňmi charakteristickej rovnice?

5. Ako nájsť všeobecné riešenie nehomogénnej diferenčnej rovnice 2. rádu?

6. Čo je numerické a analytické riešenie diferenčnej rovnice 2. rádu?

7. Aké problémy sa nazývajú dobre podmienené?

Úlohy

1. Napíšte postup riešenia diferenčnej okrajovej úlohy pre rovnicu druhého rádu s okrajovými podmienkami , .

2. Analyticky nájdite pre danú rovnicu všeobecné a partikulárne riešenia a skontrolujte kritérium podmienenosti.

3. Porovnajte výsledky výpočtov pomocou opakujúceho sa vzorca s analytickým riešením.

4. Zistite, ako narušenie okrajových podmienok a pravej strany ovplyvňuje výsledok.

						Poďme nájsť všeobecné riešenie diferenčnej rovnice 2. rádu, ktorú možno nájsť výberom ľubovoľných konštánt. Spolu s Cauchyho problémami sa dvojbodové hraničné problémy zvažujú aj pre rovnice druhého rádu, v ktorých sú hodnoty mriežkovej funkcie špecifikované v dvoch uzloch umiestnených nie v rade, ale na koncoch určitého konečného segmentu. : (hraničné podmienky ). Analytické riešenie takéhoto problému možno získať vhodnou voľbou ľubovoľných konštánt vo všeobecnom riešení. Na rozdiel od problému s počiatočnými podmienkami však problém s okrajovou hodnotou nebude nevyhnutne jednoznačne riešiteľný. Preto je veľmi dôležité objasniť triedu okrajových úloh, ktoré majú jedinečnú riešiteľnosť a slabú citlivosť na poruchy (v dôsledku zaokrúhľovacích chýb) pravej strany a okrajových podmienok. Takéto problémy budeme nazývať dobre podmienené Uvažujme o príklade zle podmieneného hraničného problému Formulácia problému. Počiatočná diferenčná rovnica a okrajové podmienky. Postup na získanie numerického riešenia. Analytické riešenie diferenčnej okrajovej úlohy. Všeobecné riešenie a konkrétne riešenie, ktoré spĺňa dané okrajové podmienky. Kontrola kritéria podmienenosti. Grafy numerického riešenia a analytického riešenia (na rovnakých osiach). Graf rozdielu medzi numerickým a analytickým riešením. Grafy narušených numerických riešení a rozdiel medzi narušenými a nerušenými riešeniami: a) keď je počiatočný stav narušený; b) keď je pravá strana narušená. Záver o podmienenosti hraničnej úlohy.

Často už len zmienka o diferenciálnych rovniciach vyvoláva u žiakov nepríjemný pocit. Prečo sa to deje? Najčastejšie preto, že pri štúdiu základov materiálu vzniká vedomostná medzera, vďaka ktorej sa ďalšie štúdium difúzorov stáva jednoducho mučením. Nie je jasné, čo robiť, ako sa rozhodnúť, kde začať?

Pokúsime sa vám však ukázať, že difúzory nie sú také ťažké, ako sa zdá.

Základné pojmy z teórie diferenciálnych rovníc

Zo školy poznáme najjednoduchšie rovnice, v ktorých potrebujeme nájsť neznáme x. v skutočnosti diferenciálne rovnice len mierne odlišná od nich – namiesto premennej X musíte v nich nájsť funkciu y(x) , čo zmení rovnicu na identitu.

Diferenciálne rovnice majú veľký praktický význam. Toto nie je abstraktná matematika, ktorá nemá žiadny vzťah k svetu okolo nás. Mnoho skutočných prírodných procesov je popísaných pomocou diferenciálnych rovníc. Napríklad vibrácie struny, pohyb harmonického oscilátora pomocou diferenciálnych rovníc v úlohách mechaniky zistia rýchlosť a zrýchlenie telesa. Tiež DU sú široko používané v biológii, chémii, ekonómii a mnohých ďalších vedách.

Diferenciálnej rovnice (DU) je rovnica obsahujúca derivácie funkcie y(x), samotnej funkcie, nezávisle premenné a ďalšie parametre v rôznych kombináciách.

Existuje mnoho typov diferenciálnych rovníc: obyčajné diferenciálne rovnice, lineárne a nelineárne, homogénne a nehomogénne, diferenciálne rovnice prvého a vyššieho rádu, parciálne diferenciálne rovnice atď.

Riešením diferenciálnej rovnice je funkcia, ktorá ju mení na identitu. Existujú všeobecné a špeciálne riešenia diaľkového ovládania.

Všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice je všeobecný súbor riešení, ktoré transformujú rovnicu na identitu. Čiastočné riešenie diferenciálnej rovnice je riešenie, ktoré spĺňa dodatočné podmienky špecifikované na začiatku.

Poradie diferenciálnej rovnice je určené najvyšším rádom jej derivácií.

Obyčajné diferenciálne rovnice

Obyčajné diferenciálne rovnice sú rovnice obsahujúce jednu nezávislú premennú.

Zoberme si najjednoduchšiu obyčajnú diferenciálnu rovnicu prvého rádu. Vyzerá to ako:

Takáto rovnica sa dá vyriešiť jednoducho integráciou jej pravej strany.

Príklady takýchto rovníc:

Oddeliteľné rovnice

Vo všeobecnosti tento typ rovnice vyzerá takto:

Tu je príklad:

Pri riešení takejto rovnice musíte oddeliť premenné a uviesť ich do tvaru:

Potom zostáva integrovať obe časti a získať riešenie.

Lineárne diferenciálne rovnice prvého rádu

Takéto rovnice vyzerajú takto:

Tu p(x) a q(x) sú niektoré funkcie nezávislej premennej a y=y(x) je požadovaná funkcia. Tu je príklad takejto rovnice:

Pri riešení takejto rovnice najčastejšie využívajú metódu variácie ľubovoľnej konštanty alebo reprezentujú požadovanú funkciu ako súčin dvoch ďalších funkcií y(x)=u(x)v(x).

Na vyriešenie takýchto rovníc je potrebná určitá príprava a bude dosť ťažké vziať ich „na prvý pohľad“.

Príklad riešenia diferenciálnej rovnice so separovateľnými premennými

Pozreli sme sa teda na najjednoduchšie typy diaľkového ovládania. Teraz sa pozrime na riešenie jedného z nich. Nech je to rovnica s oddeliteľnými premennými.

Najprv prepíšme derivát do známejšieho tvaru:

Potom rozdelíme premenné, to znamená, že v jednej časti rovnice zhromažďujeme všetky „ja“ a v druhej – „X“:

Teraz zostáva integrovať obe časti:

Integrujeme a získame všeobecné riešenie tejto rovnice:

Samozrejme, riešenie diferenciálnych rovníc je istý druh umenia. Musíte byť schopní pochopiť, o aký typ rovnice ide, a tiež sa naučiť vidieť, aké transformácie s ňou treba urobiť, aby viedli k tej či onej forme, nehovoriac len o schopnosti rozlišovať a integrovať. A aby ste uspeli pri riešení DE, potrebujete prax (ako vo všetkom). A ak momentálne nemáte čas pochopiť, ako sa riešia diferenciálne rovnice, alebo vám Cauchyho problém uviazol ako kosť v krku, alebo neviete, ako správne pripraviť prezentáciu, kontaktujte našich autorov. V krátkom čase vám poskytneme hotové a podrobné riešenie, ktorého detailom môžete kedykoľvek porozumieť. Medzitým vám odporúčame pozrieť si video na tému „Ako riešiť diferenciálne rovnice“: