Základné elementárne funkcie: ich vlastnosti a grafy. Funkcie a grafy Ich grafy

22.12.2023

Základné elementárne funkcie, ich inherentné vlastnosti a zodpovedajúce grafy sú jedným zo základov matematických vedomostí, podobne ako násobilka. Elementárne funkcie sú základom, oporou pre štúdium všetkých teoretických otázok.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Nasledujúci článok poskytuje kľúčový materiál na tému základných elementárnych funkcií. Zavedieme pojmy, dáme im definície; Pozrime sa podrobne na každý typ elementárnych funkcií a analyzujme ich vlastnosti.

Rozlišujú sa tieto typy základných elementárnych funkcií:

Definícia 1

konštantná funkcia (konštantná);
n-tý koreň;
výkonová funkcia;
exponenciálna funkcia;
logaritmická funkcia;
goniometrické funkcie;
bratské goniometrické funkcie.

Konštantná funkcia je definovaná vzorcom: y = C (C je určité reálne číslo) a má aj názov: konštanta. Táto funkcia určuje zhodu akejkoľvek reálnej hodnoty nezávislej premennej x s rovnakou hodnotou premennej y - hodnotou C.

Graf konštanty je priamka, ktorá je rovnobežná s osou x a prechádza bodom so súradnicami (0, C). Pre prehľadnosť uvádzame grafy konštantných funkcií y = 5, y = - 2, y = 3, y = 3 (na výkrese vyznačené čiernou, červenou a modrou farbou).

Definícia 2

Táto elementárna funkcia je definovaná vzorcom y = x n (n je prirodzené číslo väčšie ako jedna).

Uvažujme o dvoch variantoch funkcie.

n-tá odmocnina, n – párne číslo

Pre prehľadnosť uvádzame nákres, ktorý zobrazuje grafy takýchto funkcií: y = x, y = x 4 a y = x8. Tieto prvky sú farebne odlíšené: čierna, červená a modrá.

Grafy funkcie párneho stupňa majú podobný vzhľad pre iné hodnoty exponentu.

Definícia 3

Vlastnosti funkcie n-tej odmocniny, n je párne číslo

definičný obor – množina všetkých nezáporných reálnych čísel [ 0 , + ∞) ;
keď x = 0, funkcia y = x n má hodnotu rovnú nule;
táto funkcia je funkciou všeobecného tvaru (nie je ani párna, ani nepárna);
rozsah: [ 0 , + ∞) ;
táto funkcia y = x n s párnymi koreňovými exponentmi rastie v celom definičnom obore;
funkcia má konvexnosť so smerom nahor v celej oblasti definície;
neexistujú žiadne inflexné body;
nie sú žiadne asymptoty;
graf funkcie pre párne n prechádza bodmi (0; 0) a (1; 1).

n-tá odmocnina, n – nepárne číslo

Takáto funkcia je definovaná na celej množine reálnych čísel. Pre prehľadnosť zvážte grafy funkcií y = x3, y = x5 a x 9. Na výkrese sú označené farbami: čierna, červená a modrá sú farby kriviek, resp.

Ostatné nepárne hodnoty koreňového exponentu funkcie y = x n poskytnú graf podobného typu.

Definícia 4

Vlastnosti funkcie n-tej odmocniny, n je nepárne číslo

doména definície – množina všetkých reálnych čísel;
táto funkcia je nepárna;
rozsah hodnôt - množina všetkých reálnych čísel;
funkcia y = x n pre nepárne koreňové exponenty narastá v celom definičnom obore;
funkcia má konkávnosť na intervale (- ∞ ; 0 ] a konvexnosť na intervale [ 0 , + ∞);
inflexný bod má súradnice (0; 0);
nie sú žiadne asymptoty;
Graf funkcie pre nepárne n prechádza bodmi (- 1 ; - 1), (0 ; 0) a (1 ; 1).

Funkcia napájania

Definícia 5

Mocninná funkcia je definovaná vzorcom y = x a.

Vzhľad grafov a vlastnosti funkcie závisia od hodnoty exponentu.

keď má mocninová funkcia celočíselný exponent a, potom typ grafu mocninnej funkcie a jej vlastnosti závisia od toho, či je exponent párny alebo nepárny, ako aj od toho, aké znamienko má exponent. Pozrime sa na všetky tieto špeciálne prípady podrobnejšie nižšie;
exponent môže byť zlomkový alebo iracionálny - v závislosti od toho sa líši aj typ grafov a vlastnosti funkcie. Budeme analyzovať špeciálne prípady nastavením niekoľkých podmienok: 0< a < 1 ; a > 1 ; - 1 < a < 0 и a < - 1 ;
mocninná funkcia môže mať nulový exponent; tento prípad tiež podrobnejšie rozoberieme nižšie.

Poďme analyzovať výkonovú funkciu y = x a, keď a je nepárne kladné číslo, napríklad a = 1, 3, 5...

Pre názornosť uvádzame grafy takýchto mocninových funkcií: y = x (grafická farba čierna), y = x 3 (modrá farba grafu), y = x 5 (červená farba grafu), y = x 7 (grafická farba zelená). Keď a = 1, dostaneme lineárnu funkciu y = x.

Definícia 6

Vlastnosti mocninovej funkcie, keď je exponent nepárny kladný

funkcia je rastúca pre x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
funkcia má konvexnosť pre x ∈ (- ∞ ; 0 ] a konkávnosť pre x ∈ [ 0 ; + ∞) (okrem lineárnej funkcie);
inflexný bod má súradnice (0 ; 0) (okrem lineárnej funkcie);
nie sú žiadne asymptoty;
body prechodu funkcie: (- 1 ; - 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Poďme analyzovať výkonovú funkciu y = x a, keď a je párne kladné číslo, napríklad a = 2, 4, 6...

Pre prehľadnosť uvádzame grafy takýchto výkonových funkcií: y = x 2 (grafická farba čierna), y = x 4 (modrá farba grafu), y = x 8 (červená farba grafu). Keď a = 2, dostaneme kvadratickú funkciu, ktorej grafom je kvadratická parabola.

Definícia 7

Vlastnosti mocninovej funkcie, keď je exponent dokonca kladný:

doména definície: x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
klesajúce pre x ∈ (- ∞ ; 0 ] ;
funkcia má konkávnosť pre x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
neexistujú žiadne inflexné body;
nie sú žiadne asymptoty;
body prechodu funkcie: (- 1 ; 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Na obrázku nižšie sú príklady grafov výkonových funkcií y = x a, keď a je nepárne záporné číslo: y = x - 9 (grafická farba čierna); y = x - 5 (modrá farba grafu); y = x - 3 (červená farba grafu); y = x - 1 (grafická farba zelená). Keď a = - 1, dostaneme inverznú úmernosť, ktorej grafom je hyperbola.

Definícia 8

Vlastnosti mocninovej funkcie, keď je exponent nepárny záporný:

Keď x = 0, dostaneme diskontinuitu druhého druhu, pretože lim x → 0 - 0 x a = - ∞, lim x → 0 + 0 x a = + ∞ pre a = - 1, - 3, - 5, …. Teda priamka x = 0 je vertikálna asymptota;

rozsah: y ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
funkcia je nepárna, pretože y (- x) = - y (x);
funkcia je klesajúca pre x ∈ - ∞ ; 0 ∪ (0 ; + ∞);
funkcia má konvexnosť pre x ∈ (- ∞ ; 0) a konkávnosť pre x ∈ (0 ; + ∞) ;
neexistujú žiadne inflexné body;

k = lim x → ∞ x a x = 0, b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0, keď a = - 1, - 3, - 5, . . . .

body prechodu funkcie: (- 1 ; - 1) , (1 ; 1) .

Obrázok nižšie ukazuje príklady grafov mocninnej funkcie y = x a, keď a je párne záporné číslo: y = x - 8 (grafická farba čierna); y = x - 4 (modrá farba grafu); y = x - 2 (červená farba grafu).

Definícia 9

Vlastnosti mocninnej funkcie, keď je exponent dokonca záporný:

doména definície: x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;

Keď x = 0, dostaneme diskontinuitu druhého druhu, pretože lim x → 0 - 0 x a = + ∞, lim x → 0 + 0 x a = + ∞ pre a = - 2, - 4, - 6, …. Teda priamka x = 0 je vertikálna asymptota;

funkcia je párna, pretože y(-x) = y(x);
funkcia je rastúca pre x ∈ (- ∞ ; 0) a klesajúca pre x ∈ 0; + ∞;
funkcia má konkávnosť v x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
neexistujú žiadne inflexné body;
horizontálna asymptota – priamka y = 0, pretože:

k = lim x → ∞ x a x = 0, b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0, keď a = - 2 , - 4 , - 6 , . . . .

body prechodu funkcie: (- 1 ; 1) , (1 ; 1) .

Hneď na začiatku si všímajte nasledovné hľadisko: v prípade, že a je kladný zlomok s nepárnym menovateľom, niektorí autori berú ako definičný obor tejto mocninnej funkcie interval - ∞; + ∞ , pričom exponent a je neredukovateľný zlomok. V súčasnosti autori mnohých vzdelávacích publikácií o algebre a princípoch analýzy NEDEFINUJÚ mocninné funkcie, kde exponent je zlomok s nepárnym menovateľom pre záporné hodnoty argumentu. Ďalej sa budeme držať presne tejto polohy: vezmeme množinu [ 0 ; + ∞). Odporúčanie pre študentov: zistite si názor učiteľa na tento bod, aby ste sa vyhli nezhodám.

Pozrime sa teda na funkciu napájania y = x a , keď exponent je racionálne alebo iracionálne číslo, za predpokladu, že 0< a < 1 .

Znázornime mocninné funkcie pomocou grafov y = x a, keď a = 11 12 (grafická farba čierna); a = 5 7 (červená farba grafu); a = 1 3 (modrá farba grafu); a = 2 5 (zelená farba grafu).

Ostatné hodnoty exponentu a (za predpokladu, že 0< a < 1) дадут аналогичный вид графика.

Definícia 10

Vlastnosti mocninovej funkcie pri 0< a < 1:

rozsah: y ∈ [ 0 ; + ∞);
funkcia je rastúca pre x ∈ [ 0 ; + ∞);
funkcia je konvexná pre x ∈ (0 ; + ∞);
neexistujú žiadne inflexné body;
nie sú žiadne asymptoty;

Poďme analyzovať výkonovú funkciu y = x a, keď exponent je necelé racionálne alebo iracionálne číslo, za predpokladu, že a > 1.

Znázornime pomocou grafov mocninovú funkciu y = x a za daných podmienok s použitím nasledujúcich funkcií ako príkladu: y = x 5 4 , y = x 4 3, y = x 7 3, y = x 3 π (čierne, červené, modré, zelené grafy).

Ostatné hodnoty exponentu a, ak a > 1, poskytnú podobný graf.

Definícia 11

Vlastnosti mocninovej funkcie pre a > 1:

doména definície: x ∈ [ 0 ; + ∞);
rozsah: y ∈ [ 0 ; + ∞);
táto funkcia je funkciou všeobecného tvaru (nie je ani nepárna, ani párna);
funkcia je rastúca pre x ∈ [ 0 ; + ∞);
funkcia má konkávnosť pre x ∈ (0 ; + ∞) (keď 1< a < 2) и выпуклость при x ∈ [ 0 ; + ∞) (когда a > 2);
neexistujú žiadne inflexné body;
nie sú žiadne asymptoty;
prechádzajúce body funkcie: (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Upozorňujeme, že keď a je záporný zlomok s nepárnym menovateľom, v prácach niektorých autorov existuje názor, že doménou definície je v tomto prípade interval - ∞; 0 ∪ (0 ; + ∞) s výhradou, že exponent a je neredukovateľný zlomok. V súčasnosti autori vzdelávacích materiálov o algebre a princípoch analýzy NEDEFINUJÚ mocninné funkcie s exponentom vo forme zlomku s nepárnym menovateľom pre záporné hodnoty argumentu. Ďalej sa držíme presne tohto názoru: množinu (0 ; + ∞) berieme ako doménu definície mocninných funkcií s zlomkovými zápornými exponentmi. Odporúčanie pre študentov: Ujasnite si v tomto bode víziu svojho učiteľa, aby ste sa vyhli nezhodám.

Pokračujme v téme a rozoberme si mocenskú funkciu y = x a za predpokladu: - 1< a < 0 .

Uveďme nákres grafov nasledujúcich funkcií: y = x - 5 6, y = x - 2 3, y = x - 1 2 2, y = x - 1 7 (čierna, červená, modrá, zelená farba linky).

Definícia 12

Vlastnosti mocninovej funkcie pri - 1< a < 0:

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ keď - 1< a < 0 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

rozsah: y ∈ 0 ; + ∞;
táto funkcia je funkciou všeobecného tvaru (nie je ani nepárna, ani párna);
neexistujú žiadne inflexné body;

Na obrázku nižšie sú znázornené grafy mocninných funkcií y = x - 5 4, y = x - 5 3, y = x - 6, y = x - 24 7 (čierne, červené, modré, zelené farby kriviek).

Definícia 13

Vlastnosti mocninovej funkcie pre a< - 1:

doména definície: x ∈ 0 ; + ∞;

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ keď a< - 1 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

rozsah: y ∈ (0 ; + ∞) ;
táto funkcia je funkciou všeobecného tvaru (nie je ani nepárna, ani párna);
funkcia je klesajúca pre x ∈ 0; + ∞;
funkcia má konkávnosť pre x ∈ 0; + ∞;
neexistujú žiadne inflexné body;
horizontálna asymptota – priamka y = 0;
bod prechodu funkcie: (1; 1) .

Keď a = 0 a x ≠ 0, dostaneme funkciu y = x 0 = 1, ktorá definuje priamku, z ktorej je bod (0; 1) vylúčený (bolo dohodnuté, že výraz 0 0 nebude mať žiadny význam ).

Exponenciálna funkcia má tvar y = a x, kde a > 0 a a ≠ 1 a graf tejto funkcie vyzerá odlišne na základe hodnoty bázy a. Uvažujme o špeciálnych prípadoch.

Najprv sa pozrime na situáciu, keď má základ exponenciálnej funkcie hodnotu od nuly do jednej (0< a < 1) . Dobrým príkladom sú grafy funkcií pre a = 1 2 (modrá farba krivky) a a = 5 6 (červená farba krivky).

Grafy exponenciálnej funkcie budú mať podobný vzhľad pre ostatné hodnoty základne pod podmienkou 0< a < 1 .

Definícia 14

Vlastnosti exponenciálnej funkcie, keď je základňa menšia ako jedna:

rozsah: y ∈ (0 ; + ∞) ;
táto funkcia je funkciou všeobecného tvaru (nie je ani nepárna, ani párna);
exponenciálna funkcia, ktorej základ je menší ako jedna, klesá v celom definičnom obore;
neexistujú žiadne inflexné body;
horizontálna asymptota – priamka y = 0 s premennou x smerujúcou k + ∞;

Teraz zvážte prípad, keď je základ exponenciálnej funkcie väčší ako jedna (a > 1).

Ilustrujme tento špeciálny prípad grafom exponenciálnych funkcií y = 3 2 x (modrá farba krivky) a y = e x (červená farba grafu).

Ostatné hodnoty základne, väčšie jednotky, budú mať podobný vzhľad ako graf exponenciálnej funkcie.

Definícia 15

Vlastnosti exponenciálnej funkcie, keď je základ väčší ako jedna:

doména definície – celá množina reálnych čísel;
rozsah: y ∈ (0 ; + ∞) ;
táto funkcia je funkciou všeobecného tvaru (nie je ani nepárna, ani párna);
exponenciálna funkcia, ktorej základ je väčší ako jedna, rastie ako x ∈ - ∞; + ∞;
funkcia má konkávnosť v x ∈ - ∞; + ∞;
neexistujú žiadne inflexné body;
horizontálna asymptota – priamka y = 0 s premennou x smerujúcou k - ∞;
bod prechodu funkcie: (0; 1) .

Logaritmická funkcia má tvar y = log a (x), kde a > 0, a ≠ 1.

Takáto funkcia je definovaná iba pre kladné hodnoty argumentu: pre x ∈ 0; + ∞ .

Graf logaritmickej funkcie má rôzny vzhľad na základe hodnoty základu a.

Uvažujme najskôr o situácii, keď 0< a < 1 . Продемонстрируем этот частный случай графиком логарифмической функции при a = 1 2 (синий цвет кривой) и а = 5 6 (красный цвет кривой).

Iné hodnoty základne, nie väčšie jednotky, poskytnú podobný typ grafu.

Definícia 16

Vlastnosti logaritmickej funkcie, keď je základ menší ako jedna:

doména definície: x ∈ 0 ; + ∞ . Keďže x smeruje sprava k nule, funkčné hodnoty majú sklon k +∞;
rozsah hodnôt: y ∈ - ∞ ; + ∞;
táto funkcia je funkciou všeobecného tvaru (nie je ani nepárna, ani párna);
logaritmický
funkcia má konkávnosť pre x ∈ 0; + ∞;
neexistujú žiadne inflexné body;
nie sú žiadne asymptoty;

Teraz sa pozrime na špeciálny prípad, keď je základ logaritmickej funkcie väčší ako jedna: a > 1 . Na obrázku nižšie sú znázornené grafy logaritmických funkcií y = log 3 2 x a y = ln x (modrá a červená farba grafov).

Ostatné hodnoty základne väčšie ako jedna poskytnú podobný typ grafu.

Definícia 17

Vlastnosti logaritmickej funkcie, keď je základ väčší ako jedna:

doména definície: x ∈ 0 ; + ∞ . Keďže x smeruje sprava k nule, funkčné hodnoty majú sklon k - ∞ ;
rozsah: y ∈ - ∞ ; + ∞ (celá množina reálnych čísel);
táto funkcia je funkciou všeobecného tvaru (nie je ani nepárna, ani párna);
logaritmická funkcia je rastúca pre x ∈ 0; + ∞;
funkcia je konvexná pre x ∈ 0; + ∞;
neexistujú žiadne inflexné body;
nie sú žiadne asymptoty;
bod prechodu funkcie: (1; 0) .

Goniometrické funkcie sú sínus, kosínus, tangens a kotangens. Pozrime sa na vlastnosti každého z nich a zodpovedajúcu grafiku.

Vo všeobecnosti sa všetky goniometrické funkcie vyznačujú vlastnosťou periodicity, t.j. keď sa hodnoty funkcií opakujú pre rôzne hodnoty argumentu, ktoré sa navzájom líšia periódou f (x + T) = f (x) (T je bodka). Do zoznamu vlastností goniometrických funkcií sa tak pridáva položka „najmenšia kladná perióda“. Okrem toho uvedieme hodnoty argumentu, pri ktorých sa zodpovedajúca funkcia stane nulou.

Sínusová funkcia: y = sin(x)

Graf tejto funkcie sa nazýva sínusová vlna.

Definícia 18

Vlastnosti funkcie sínus:

doména definície: celá množina reálnych čísel x ∈ - ∞ ; + ∞;
funkcia zaniká, keď x = π · k, kde k ∈ Z (Z je množina celých čísel);
funkcia je rastúca pre x ∈ - π 2 + 2 π · k ; π 2 + 2 π · k, k ∈ Z a klesajúce pre x ∈ π 2 + 2 π · k; 3 π 2 + 2 π · k, k ∈ Z;
sínusová funkcia má lokálne maximá v bodoch π 2 + 2 π · k; 1 a lokálne minimá v bodoch - π 2 + 2 π · k; - 1, k∈ Z;
funkcia sínus je konkávna, keď x ∈ - π + 2 π · k ; 2 π · k, k ∈ Z a konvexné, keď x ∈ 2 π · k; π + 2 π k, k ∈ Z;
nie sú žiadne asymptoty.

Kosínová funkcia: y = cos (x)

Graf tejto funkcie sa nazýva kosínusová vlna.

Definícia 19

Vlastnosti kosínusovej funkcie:

doména definície: x ∈ - ∞ ; + ∞;
najmenšia kladná perióda: T = 2 π;
rozsah hodnôt: y ∈ - 1 ; 1;
táto funkcia je párna, pretože y (- x) = y (x);
funkcia je rastúca pre x ∈ - π + 2 π · k ; 2 π · k, k ∈ Z a klesajúce pre x ∈ 2 π · k; π + 2 π k, k ∈ Z;
kosínusová funkcia má lokálne maximá v bodoch 2 π · k ; 1, k ∈ Z a lokálne minimá v bodoch π + 2 π · k; - 1, k∈z;
funkcia kosínus je konkávna, keď x ∈ π 2 + 2 π · k ; 3 π 2 + 2 π · k, k ∈ Z a konvexné, keď x ∈ - π 2 + 2 π · k ; π 2 + 2 π · k, k ∈ Z;
inflexné body majú súradnice π 2 + π · k; 0, k∈ Z
nie sú žiadne asymptoty.

Funkcia dotyčnice: y = t g (x)

Graf tejto funkcie sa nazýva dotyčnica.

Definícia 20

Vlastnosti funkcie dotyčnice:

doména definície: x ∈ - π 2 + π · k ; π 2 + π · k, kde k ∈ Z (Z je množina celých čísel);
Správanie funkcie dotyčnice na hranici definičného oboru lim x → π 2 + π · k + 0 t g (x) = - ∞ , lim x → π 2 + π · k - 0 t g (x) = + ∞ . Teda priamky x = π 2 + π · k k ∈ Z sú vertikálne asymptoty;
funkcia zmizne, keď x = π · k pre k ∈ Z (Z je množina celých čísel);
rozsah hodnôt: y ∈ - ∞ ; + ∞;
táto funkcia je nepárna, keďže y (- x) = - y (x) ;
funkcia rastie ako - π 2 + π · k ; π 2 + π · k, k ∈ Z;
funkcia dotyčnice je pre x ∈ [π · k konkávna; π 2 + π · k), k ∈ Z a konvexné pre x ∈ (- π 2 + π · k ; π · k ], k ∈ Z ;
inflexné body majú súradnice π · k ; 0, k∈Z;

Funkcia kotangens: y = c t g (x)

Graf tejto funkcie sa nazýva kotangentoid. .

Definícia 21

Vlastnosti kotangens funkcie:

doména definície: x ∈ (π · k ; π + π · k), kde k ∈ Z (Z je množina celých čísel);

Správanie kotangensovej funkcie na hranici definičného definičného oboru lim x → π · k + 0 t g (x) = + ∞ , lim x → π · k - 0 t g (x) = - ∞ . Priamky x = π · k k ∈ Z sú teda vertikálne asymptoty;

najmenšia kladná perióda: T = π;
funkcia zmizne, keď x = π 2 + π · k pre k ∈ Z (Z je množina celých čísel);
rozsah hodnôt: y ∈ - ∞ ; + ∞;
táto funkcia je nepárna, keďže y (- x) = - y (x) ;
funkcia je klesajúca pre x ∈ π · k ; π + π k, k ∈ Z;
funkcia kotangens je pre x ∈ konkávna (π · k; π 2 + π · k ], k ∈ Z a konvexná pre x ∈ [ - π 2 + π · k ; π · k), k ∈ Z ;
inflexné body majú súradnice π 2 + π · k; 0, k∈Z;
Neexistujú žiadne šikmé alebo horizontálne asymptoty.

Inverzné goniometrické funkcie sú arksínus, arkkozín, arktangens a arkkotangens. V dôsledku prítomnosti predpony „oblúk“ v názve sa inverzné goniometrické funkcie často nazývajú oblúkové funkcie .

Funkcia oblúkového sínusu: y = a rc sin (x)

Definícia 22

Vlastnosti funkcie arcsínus:

táto funkcia je nepárna, keďže y (- x) = - y (x) ;
funkcia arcsínus má konkávnosť pre x ∈ 0; 1 a konvexnosť pre x ∈ - 1; 0;
inflexné body majú súradnice (0; 0), ktoré sú zároveň nulou funkcie;
nie sú žiadne asymptoty.

Arc cosine funkcia: y = a rc cos (x)

Definícia 23

Vlastnosti arc cosínusovej funkcie:

doména definície: x ∈ - 1 ; 1;
rozsah: y ∈ 0 ; π;
táto funkcia má všeobecnú formu (ani párna, ani nepárna);
funkcia klesá v celej oblasti definície;
funkcia kosínus oblúka má konkávnosť pri x ∈ - 1; 0 a konvexnosť pre x ∈ 0; 1;
inflexné body majú súradnice 0; π 2;
nie sú žiadne asymptoty.

Arktangens funkcia: y = a r c t g (x)

Definícia 24

Vlastnosti funkcie arkustangens:

doména definície: x ∈ - ∞ ; + ∞;
rozsah hodnôt: y ∈ - π 2 ; π 2;
táto funkcia je nepárna, keďže y (- x) = - y (x) ;
funkcia sa zvyšuje v celej oblasti definície;
funkcia arkustangens má konkávnosť pre x ∈ (- ∞ ; 0 ] a konvexnosť pre x ∈ [ 0 ; + ∞);
inflexný bod má súradnice (0; 0), ktoré sú zároveň nulou funkcie;
vodorovné asymptoty sú priame čiary y = - π 2 ako x → - ∞ a y = π 2 ako x → + ∞ (na obrázku sú asymptoty zelené čiary).

Funkcia oblúkovej tangenty: y = a r c c t g (x)

Definícia 25

Vlastnosti funkcie arkotangens:

doména definície: x ∈ - ∞ ; + ∞;
rozsah: y ∈ (0; π) ;
táto funkcia má všeobecnú formu;
funkcia klesá v celej oblasti definície;
funkcia kotangens oblúka má konkávnosť pre x ∈ [ 0 ; + ∞) a konvexnosť pre x ∈ (- ∞ ; 0 ] ;
inflexný bod má súradnice 0; π 2;
vodorovné asymptoty sú priame čiary y = π v bode x → - ∞ (zelená čiara na výkrese) a y = 0 v bode x → + ∞.

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter

Mestská rozpočtová vzdelávacia inštitúcia

"Škola č. 77"

Sormovský okres Nižný Novgorod

Študentská vedecká spoločnosť

Grafy a ich funkcie

Doplnil: Bakanin Timofey,

žiak 9. ročníka

Vedecký vedúci: Grigorenko L.A.

Nižný Novgorod

2016

Obsah

Úvod………………………………………………………………………………………... 3

Funkčná závislosť a funkčný graf. Metódy na špecifikáciu funkcie………..4

Najjednoduchšie elementárne funkcie………………………………………………………………...5

3. Geometrické transformácie funkčných grafov………………………………………..11

4. Vykreslenie funkčných grafov……………………………………………………………….12

5. Aplikácia funkčných grafov na riešenie problémov………………………………………………..17

Záver………………………………………………………………………………………………...22

Referencie………………………………………………………………………………………………..23

Úvod.

Štúdium správania funkcií a konštrukcie ich grafov je dôležitým odvetvím matematiky. Plynulosť v technikách mapovania často pomáha vyriešiť mnohé problémy a niekedy je jediným prostriedkom na ich vyriešenie. Okrem toho, schopnosť vytvárať grafy funkcií je veľmi nezávislá. Existujú rôzne spôsoby špecifikácie funkcií: analytické, tabuľkové, verbálne, parametrické a grafické.

Kedykoľvek potrebujete zistiť všeobecnú povahu správania sa funkcie alebo objaviť jej vlastnosti, graf je vďaka svojej prehľadnosti nenahraditeľný.

V skutočnosti je graf funkcie vyjadrením nášho chápania toho, ako sa funkcia správa. K tomu potrebujete poznať elementárne funkcie, ich vlastnosti a grafy a ovládať techniku konštrukcie grafov.

V inžinierstve a fyzike sa často používa grafická metóda špecifikácie funkcie. Seizmológ, ktorý analyzuje seizmogram, zistí, kedy k zemetraseniu došlo, kde k nemu došlo a určí silu a povahu otrasov. Lekár, ktorý vyšetruje pacienta, môže z kardiogramu posúdiť srdcové abnormality: štúdium kardiogramu pomáha správne diagnostikovať ochorenie. Rádioelektronika na základe charakteristík polovodičového prvku vyberie najvhodnejší režim jeho činnosti. S rozvojom matematiky sa zvyšuje prienik grafickej metódy do rôznych oblastí ľudského života. Najmä využitie funkčných závislostí a vykresľovanie sú široko používané v ekonómii.

S rozvojom výpočtovej techniky s jej vynikajúcimi grafickými nástrojmi a vysokou rýchlosťou operácií sa práca s grafmi funkcií stala oveľa zaujímavejšou, vizuálnejšou a vzrušujúcejšou.

Túto konkrétnu tému som si vybral pre svoju prácu, pretože mi pomôže pri absolvovaní skúšok a je sama o sebe zaujímavá.

Funkčná závislosť a funkčný graf. Metódy špecifikácie funkcie

Ak každá hodnotaXz určitej množiny čísel je priradené číslor, potom povieme, že funkcia y(x) je daná na tejto množine. V čomXsa nazýva nezávislá premenná alebo argument ar– závislá premenná alebo funkcia.

Doména funkcie je množina všetkých hodnôt, ktoré môže nadobudnúť jej argument.

Ak je funkcia daná vzorcom, potom sa všeobecne uznáva, že je definovaná pre všetky tie hodnoty argumentu, pre ktoré má tento vzorec zmysel, t.j. všetky akcie uvedené vo výraze na pravej strane vzorca sú uskutočniteľné.

Graf funkcie je množina všetkých bodov súradnicovej roviny, ktorých úsečky sa rovnajú hodnotám nezávislej premennej z oblasti definície tejto funkcie a súradnice sa rovnajú zodpovedajúcim hodnotám funkcie.

Metódy na určenie funkcie:

1) Tabuľková metóda

Pri tejto metóde sa séria jednotlivých hodnôt argumentu,..., a zodpovedajúci rad jednotlivých hodnôt funkcie,..., špecifikuje vo forme tabuľky. Napriek svojej jednoduchosti má táto metóda špecifikácie funkcie významnú nevýhodu, pretože neposkytuje úplný obraz o povahe funkčného vzťahu medziXAra nie je vizuálny.

2) Verbálna metóda

Tento spôsob zadávania je zvyčajne ilustrovaný na príklade Dirichletovej funkcier= D( X): AkXje racionálne číslo, potom hodnota funkcieD( X) sa rovná 1, a ak je čísloX-iracionálne, potom významD( X) sa rovná nule. Takže nájsť hodnotuD() pri danej hodnoteX=, je potrebné nejakým spôsobom určiť, či je číslo racionálne alebo iracionálne.

3) Grafická metóda

Funkčnú závislosť je možné špecifikovať pomocou funkčného grafur= f( X). Výhodou tohto spôsobu priradenia je prehľadnosť, ktorá umožňuje stanoviť dôležité vlastnosti správania sa funkcie. Nevýhodou grafickej metódy je nemožnosť použitia matematických nástrojov na podrobnejšie štúdium funkcie.

4) Analytická metóda

Pri analytickej metóde špecifikácie je známy vzorec, podľa ktorého pre danú hodnotu argumentuXmôžete nájsť zodpovedajúcu hodnotu funkcier. V matematike sa najčastejšie používa analytická metóda špecifikácie funkcií. Výhody tohto spôsobu nastavenia sú kompaktnosť, schopnosť vypočítať hodnoturv akejkoľvek hodnoteXa možnosť využitia matematických nástrojov na podrobnejšie štúdium správania sa funkcie. Analytická metóda špecifikácie funkcie sa však vyznačuje nedostatočnou prehľadnosťou a možnými ťažkosťami pri výpočte hodnôt funkcie.

Najjednoduchšie elementárne funkcie.

1) Lineárne:

Vlastnosti:

1. D( r) = (−∞; +∞); E( r) = (−∞; +∞).

2.Akb= 0, potom je funkcia nepárna.

Akb

3. Ak x = 0, potom y =b, ak y = 0, potom x = −.

4. Akk> 0, potom sa funkcia zvýši pre x-any.

Akk < 0, то функция klesá pre x-any.

Konštrukcia lineárnej funkcie.

Na zostrojenie priamky stačí poznať dva body. Graf funkcier=2 X+1 .

2) Kvadratická funkcia:; .

Vlastnosti:

1. D( r) = (−∞; +∞).

2. Aka> 0, tedaE( r) = [y V; +∞);

Aka < 0, то E( r) = (−∞; pri V].

3.Akb= 0, potom je funkcia párna.

Akb≠ 0, potom funkcia nie je ani párna, ani nepárna.

4.Ak x = 0, potom y =c, ak y = 0, potom x 1,2 =

5. Aka> 0, potom sa funkcia zvýši ako x[X V; +∞);

funkciuklesá ako x(−∞; x V].

Aka < 0, то функция возрастает v x(-∞; x V];

funkciuklesá ako x[X V; +∞).

Konštrukcia paraboly.

Určte smer vetiev paraboly.

Ak potom vetvy smerujú nahor,

Ak, potom sú vetvy nasmerované nadol.

Nájdite vrchol paraboly postupne pomocou dvoch vzorcov: a.

Nakreslite výsledný bod do grafu a nakreslite cez neho os symetrie rovnobežnú so súradnicovou osouOj.

Nájdite 4 body grafu dosadením hodnôtXpodľa vzorca.

Vytvorte graf na základe nájdených bodov.

3) Hyperbola:

Vlastnosti:

1. D( r) = (−∞; 0) u(0; +∞)

2. E( r) = (−∞; 0) u(0 ; +∞)

3. Funkcia je nepárna.

4. x ≠ 0, y ≠ 0.

5. Akk> 0, potom sa funkcia zníži

pri x(-∞; 0)u(0; +∞).

Akk < 0, то функция возрастает

pri x(-∞; 0)u(0; +∞).

Konštrukcia hyperboly.

Nájdenie domény definície

Funkciajezvláštny, čo znamená, že hyperbola je symetrická podľa pôvodu.

Graf funkcie formulárapredstavujú dve vetvy hyperboly.

Ak, potom sa hyperbola nachádza v prvej a tretej súradnicovej štvrtine

Ak, potom sa hyperbola nachádza v druhej a štvrtej súradnicovej štvrtine.

Používame metódu stavby bod po bode, v tomto prípade

hodnotyXJe výhodné vyberať tak, aby bol celý rozdelený.

4)Funkcia s modulom:

Zostrojenie funkcie pomocou modulu.

Zoberme si najjednoduchší prípad

Pre funkciu sa zhoduje s funkciou a pre x<0 - с функцией.

5) Funkcia napájania:

Vlastnosti:

Akn = 2 k, KdekЄ Z

1. D( r)=(−∞; +∞).

2. E( r)=.

Akn = 2 k+1, kdek Є Z

1. D( r)=(−∞; +∞).

2. E( r)=(−∞; +∞).

3. Funkcia je nepárna.

4. Ak x = 0, potom y = 0.

5. Funkcia sa zvyšujepri xЄ(−∞; +∞).

Konštrukcia kubickej paraboly.

Kubická parabola je daná funkciou

Nájdeme doménu definície -X- akékoľvek skutočné číslo

Funkčný rozsah -r- akékoľvek skutočné číslo.

Funkciajezvláštny. Akfunkcia je nepárna, potom jej grafsymetrické podľa pôvodu.

Metódou konštrukcie bod po bode urobíme výkres.

Geometrické transformácie funkčných grafov.

1) Zobraziť konverziur = f( X)+ b

r = f(X) zapnutébjednotky pozdĺž zvislej osi.

Akb> 0, potom dôjde k posunu

Akb<0, то происходит смещение↓

2) Zobraziť konverziur = f(X – a)

Ide o paralelný prenos grafu funkcier = f(X) zapnutéajednotky pozdĺž osi x

Ak a > 0, potom dôjde k posunu →

Ak< 0, то происходит смещение ←

3) Zobraziť konverziur = kf(X)

Toto je napätie (stlačenie).kraz funkčná grafikar = f(X) pozdĺž zvislej osi.

Ak |k| > 1, teda dochádza k naťahovaniu

Ak |k| < 1, то происходит kompresia

4) Konverzia zobrazeniar = f(mx)

Toto je napätie (stlačenie).mkrát grafická funkciar = f(X) pozdĺž osi x

Ak |m|> 1, potom dôjde ku kompresii

Ak |m|< 1, то происходит растяжение

5) Zobraziť konverziur = | f(X)|

Toto je spodný displej

funkčná grafikar = f(X) navrchol

polrovine vzhľadom na os x

udržanie hornej časti grafu

6) Zobraziť konverziur = f(| X|)

Toto je zobrazenie pravej strany grafu funkcier = f(X) do ľavej polroviny vzhľadom na zvislú os, pričom sa zachová pravá strana grafu

Vykresľovanie funkčných grafov.

1) Graf funkcier=+

X= -1 aX=1 – body zlomu

2) Graf funkcier=

3) Graf funkcier=,

doména:X≠0

4) Graf funkcier=

doména:X≠1

1)≥0 2) <0

≥1 <1

≥1 -1< X<1

X≤-1 , X≥1 r==- X-1

pretožeX≠1 tedaX≤-1, X>1

r== X+1

5) Graf funkcier=

doména:X≠1

= 1,5 ± 0,5

=2, =1

1) x-1>0, x>1

y===x-2

y=x-2, x>1

2) x-1<0, x<1

y==-x+2

y=-x+2, x<1

6) Graf funkcie r=+

y=+=+

X<-2, y=-x+1-x-2=-2x-1

-2≤x≤1, y=-x+1+x+2=3

x≥1, y=x-1+x+2=2x=1

7) Graf funkcie r=

Rozsah definície: -1≠0,X≠±1

1) X-1>0, X>1, r==

2) x-1<0, x<1, y==

y= (x) =

y = (x) = (x-1) =

r=(X) =(-x)== -

8) Graf funkcie r=

doména:X≠0

Funkcia je nepárna, potom sú vetvy grafu symetrické podľa počiatku.

Aplikácia funkčných grafov na riešenie problémov.

1) Pri akých hodnotách parametrovkrovnica
= kmá dva korene?

Riešenie.

1. k≥0

2. Zostavme grafr=

a) Oblasť definície funkcie:X≠±1.

c) Keďže funkcia je párna, hyperbola je symetrická okolo osiOj.

3. Keďže rovnica má 2 korene, priamkur= kmusí pretínať graf v dvoch bodoch. Preto 1< k<2. Заметим, что при k=2 budú tri korene.

2) Pri akých hodnotách parametrovkrovnica

= kmá 4 korene?

Riešenie.

Pravá strana rovnice môže byť iba nezáporná, tznk≥0.

Nakreslíme funkciu

odpoveď:

A keďk=0, potom má rovnica 4 korene (-4;-2;2;4)

b) Ak 1< k<8, то уравнение имеет 4 корня(-5,5;-0,5;0,5;5,5)

3) Vyriešte nerovnosť

X-1 <

Riešenie.

1. Nájdite úsečku priesečníkov grafov funkcií

r= X-1 ar=.

2. Riešime rovnice:

A)X-1=-5 X+4 B)X-1= -(-5 X+4)

X-1= -+5 X-4

=5, =1 =0

=3, =1.

3. Zostavme si grafy funkcií

r= X-1 ar=

= - = 2,5

(2,5;-2,25) je vrchol paraboly.

r=0: -5 X+4=0

= 2,5 ± 1,5

=4; =1

r(0)=4

odpoveď:X<1,1< X<3, X>5.

4) Riešte rovnicu 1-=.

Riešenie.

Ukážme si grafy funkcií v jednom súradnicovom systémer=1- ar=

Grafy sa pretínali v bode (-1;2). Preto koreň tejto rovniceX=-1.

odpoveď:x=-1

Graf funkcie

a určiť, pri akých hodnotách bude priamka pretínať zostrojený graf v troch bodoch.

Riešenie.

Nakreslíme funkciu

Z grafu je zrejmé, že priamka y = c bude mať práve tri priesečníky s grafom v bode c patriacim do množiny: (0;5).

odpoveď: (0; 5).

Nakreslite funkciu y = a určte, pri akých hodnotáchkzostrojený graf nebude mať spoločné body s priamkou y=kX.

Riešenie.

Doména: x a x

Transformujme funkciu do tvaru: y = . Graf je priamka y = x-3 bez dvoch bodov (-3; -6) a (9; 6).

Priamka y=kx nebude mať spoločné body so zostrojenou priamkou, ak je s ňou rovnobežná, t.jk=1, a ak prechádza cez prepichnuté body. Prvým z týchto bodov prechádza priamka, akk=2, a cez druhý - ak

Odpoveď: ; 1;2.

Záver

Po dokončení tejto práce som sa naučil zostavovať grafy funkcií pomocou geometrických transformácií. To mi pomôže vyriešiť rôzne typy problémov (nerovnice, rovnice, úlohy s parametrami) grafickým spôsobom. Takto sa pripravujem na úspešné absolvovanie skúšok OGE a USE.

Bibliografia:

Kramor V.S. Príklady s parametrami a ich riešenia. Príručka pre uchádzačov o štúdium na vysokých školách. – M.: ARKTI, 2001

Dorodnov A.M. a ďalšie grafy funkcií. Učebnica pre uchádzačov o štúdium na vysokých školách. M., "Vyššia škola", 1972

Gelfand I.M., E.G. Glagoleva, E.E. Shnolove funkcie a ich grafy „Veda“ Moskva 1971

Vilenkin N.Ya. Funkcie v prírode a technike: M.: Education, 1985

Banka otvorených úloh FIPI

Sh.A. Alimov, Yu.M. Koljaginská algebra. 9. ročník: učebnica pre všeobecnovzdelávacie inštitúcie. M.: Vzdelávanie, 2011

Elementárne funkcie a ich grafy

Rovno proporcionality. Lineárna funkcia.

Inverzná úmernosť. Hyperbola.

Kvadratická funkcia. Štvorcová parabola.

Funkcia napájania. Exponenciálna funkcia.

Logaritmická funkcia. Goniometrické funkcie.

Inverzné goniometrické funkcie.

1.	Proporcionálne množstvá. Ak premenné r A X priamo proporcionálne, potom funkčný vzťah medzi nimi vyjadruje rovnica: r = k X, Kde k- konštantná hodnota ( faktor proporcionality). Rozvrh rovno proporcionality– priamka prechádzajúca počiatkom súradníc a tvoriaca priamku s osou X uhol, ktorého dotyčnica sa rovná k: opálenie = k(obr. 8). Preto sa koeficient proporcionality nazýva aj tzv sklon. Obrázok 8 zobrazuje tri grafy pre k = 1/3, k= 1 a k = 3 .
2.	Lineárna funkcia. Ak premenné r A X súvisia podľa rovnice 1. stupňa: A x + B y = C , kde je aspoň jedno z čísel A alebo B sa nerovná nule, potom je graf tejto funkčnej závislosti priamka. Ak C= 0, potom prejde počiatkom, inak nie. Grafy lineárnych funkcií pre rôzne kombinácie A,B,C sú znázornené na obr.9.
3.	Obrátené proporcionality. Ak premenné r A X späť proporcionálne, potom funkčný vzťah medzi nimi vyjadruje rovnica: r = k / X, Kde k- konštantná hodnota. Inverzne úmerný graf – hyperbola (obr. 10). Táto krivka má dve vetvy. Hyperboly sa získajú, keď sa kruhový kužeľ pretína s rovinou (pre kužeľosečky pozri časť „Kužeľ“ v kapitole „Stereometria“). Ako je znázornené na obr. 10, súčinom súradníc bodov hyperboly je konštantná hodnota, v našom príklade rovná 1. Vo všeobecnom prípade je táto hodnota rovná k, čo vyplýva z rovnice hyperboly: xy = k. Hlavné charakteristiky a vlastnosti hyperboly: Rozsah funkcie: X 0, rozsah: r 0 ; Funkcia je monotónna (klesajúca) pri X< 0 a pri x> 0, ale nie monotónny celkovo kvôli bodu zlomu X= 0 (premýšľajte prečo?); Neohraničená funkcia, nespojitá v bode X= 0, nepárne, neperiodické; - Funkcia nemá nuly.
4.	Kvadratická funkcia. Toto je funkcia: r = sekera 2 + bx + c, Kde a, b, c- trvalý, a 0. V najjednoduchšom prípade máme: b=c= 0 a r = sekera 2. Graf tejto funkcie štvorcová parabola - krivka prechádzajúca počiatkom súradníc (obr. 11). Každá parabola má os symetrie OY, ktorá sa volá os paraboly. Bodka O priesečník paraboly s jej osou sa nazýva vrchol paraboly. Graf funkcie r = sekera 2 + bx + c- aj štvorcová parabola rovnakého typu ako r = sekera 2, ale jeho vrchol neleží v počiatku, ale v bode so súradnicami: Tvar a umiestnenie štvorcovej paraboly v súradnicovom systéme úplne závisí od dvoch parametrov: koeficientu a pri X 2 a diskriminačný D:D = b 2 – 4ac. Tieto vlastnosti vyplývajú z analýzy koreňov kvadratickej rovnice (pozri príslušnú časť v kapitole „Algebra“). Všetky možné rôzne prípady pre štvorcovú parabolu sú znázornené na obr.

Nakreslite štvorcovú parabolu pre prípad a > 0, D > 0 .

Hlavné charakteristiky a vlastnosti štvorcovej paraboly:

Rozsah funkcie:  < X+ (t.j. X R ) a oblasť

hodnoty: … (Prosím, odpovedzte na túto otázku sami!);

Funkcia ako celok nie je monotónna, ale vpravo alebo vľavo od vrcholu

správa sa monotónne;

Funkcia je neobmedzená, nepretržitá všade, aj keď b = c = 0,

a neperiodické;

- pri D< 0 не имеет нулей. (А что при D 0 ?) .

5.	Funkcia napájania. Toto je funkcia: y = sekera n, Kde a, n– trvalé. O n= 1 dostaneme priama úmernosť: r=sekera; pri n = 2 - štvorcová parabola; pri n = 1 - inverzná úmernosť alebo hyperbola. Tieto funkcie sú teda špeciálnymi prípadmi výkonovej funkcie. Vieme, že nulová mocnina akéhokoľvek čísla iného ako nula je 1, teda kedy n= 0 funkcia výkonu sa zmení na konštantnú hodnotu: r= a, t.j. jeho graf je priamka rovnobežná s osou X, s výnimkou pôvodu (vysvetlite prečo?). Všetky tieto prípady (s a= 1) sú znázornené na obr. 13 ( n 0) a obr. 14 ( n < 0). Отрицательные значения X tu nie sú zahrnuté, odvtedy niektoré funkcie: Ak n– celé číslo, mocninné funkcie majú zmysel aj vtedy X < 0, но их графики имеют различный вид в зависимости от того, является ли n párne alebo nepárne číslo. Obrázok 15 zobrazuje dve takéto výkonové funkcie: pre n= 2 a n = 3. O n= 2 funkcia je párna a jej graf je symetrický okolo osi Y. O n= 3 funkcia je nepárna a jej graf je symetrický podľa počiatku. Funkcia r = X 3 sa nazýva kubická parabola. Obrázok 16 zobrazuje funkciu. Táto funkcia je inverzná k štvorcovej parabole r = X 2, jej graf získame otočením grafu štvorcovej paraboly okolo osi 1. súradnicového uhlaToto je spôsob, ako získať graf ľubovoľnej inverznej funkcie z grafu jej pôvodnej funkcie. Z grafu vidíme, že ide o dvojhodnotovú funkciu (naznačuje to aj znamienko  pred odmocninou). Takéto funkcie sa v elementárnej matematike neštudujú, preto za funkciu zvyčajne považujeme jednu z jej vetiev: hornú alebo dolnú.
6.	Orientačné funkciu. Funkcia r = a X, Kde a- volá sa kladné konštantné číslo exponenciálna funkcia. Argument X prijíma akékoľvek platné hodnoty; funkcie sa považujú za hodnoty iba kladné čísla, keďže inak máme viachodnotovú funkciu. Áno, funkcia r = 81 X má pri X= 1/4 štyroch rôznych hodnôt: r = 3, r = 3, r = 3 i A r = 3 i(Skontrolovať prosím!). Ale považujeme to len za hodnotu funkcie r= 3. Grafy exponenciálnej funkcie pre a= 2 a a= 1/2 sú uvedené na obr. Prechádzajú bodom (0, 1). O a= 1 máme graf priamky rovnobežnej s osou X, t.j. funkcia sa zmení na konštantnú hodnotu rovnú 1. Keď a> 1 sa exponenciálna funkcia zvyšuje a pri 0< a < 1 – убывает. Hlavné charakteristiky a vlastnosti exponenciálnej funkcie:  < X+ (t.j. X R ); rozsah: r> 0 ; Funkcia je monotónna: zvyšuje sa s a> 1 a klesá na 0< a < 1; - Funkcia nemá nuly.
7.	Logaritmická funkcia. Funkcia r=log a X, Kde a- konštantné kladné číslo, nerovná sa 1 sa nazýva logaritmický. Táto funkcia je inverzná k exponenciálnej funkcii; jej graf (obr. 18) získame otočením grafu exponenciálnej funkcie okolo osi 1. súradnicového uhla. Hlavné charakteristiky a vlastnosti logaritmickej funkcie: Rozsah funkcie: X> 0, a rozsah hodnôt:  < r+ (t.j. r R ); Toto je monotónna funkcia: zvyšuje sa ako a> 1 a klesá na 0< a < 1; Funkcia je neobmedzená, všade nepretržitá, neperiodická; Funkcia má jednu nulu: X = 1.
8.	Goniometrické funkcie. Pri konštrukcii goniometrických funkcií používame radián miera uhlov. Potom funkcia r= hriech X je znázornená grafom (obr. 19). Táto krivka sa nazýva sínusoida. Graf funkcie r=cos X znázornené na obr. 20; toto je tiež sínusoida vyplývajúca z pohybu grafu r= hriech X pozdĺž osi X doľava o 2 Z týchto grafov sú zrejmé charakteristiky a vlastnosti týchto funkcií: doména:  < X+  rozsah hodnôt: 1 r +1; Tieto funkcie sú periodické: ich perióda je 2; Obmedzené funkcie (\| r\| , všade kontinuálne, nie monotónne, ale majúci tzv intervaloch monotónnosť, vo vnútri ktorej sa nachádzajú správať sa ako monotónne funkcie (pozri grafy na obr. 19 a obr. 20); Funkcie majú nekonečný počet núl (viac podrobností nájdete v časti "trigonometrické rovnice"). Funkčné grafy r= opálenie X A r= detská postieľka X 21 a 22, v tomto poradí. Z grafov je zrejmé, že tieto funkcie sú: periodické (ich perióda , neobmedzené, vo všeobecnosti nie monotónne, ale majú intervaly monotónnosti (ktoré?), nespojité (aké body nespojitosti majú tieto funkcie?). región definície a rozsah hodnôt týchto funkcií:
9.	Inverzné goniometrické funkcie. Definície inverzných goniometrické funkcie a ich hlavné vlastnosti sú uvedené v rovnomennej časti v kapitole „Trigonometria“. Preto sa tu obmedzíme dostali len krátke komentáre týkajúce sa ich grafov otáčaním grafov goniometrických funkcií okolo osi 1 súradnicový uhol.

Funkcie r= Arcsin X(obr.23) a r= Arccos X(Obr. 24) mnohohodnotový, neobmedzený; ich doména definície a rozsah hodnôt, v tomto poradí: 1 X+1 a  < r+ . Keďže tieto funkcie majú viacero hodnôt, nerobte to

Zachovanie vášho súkromia je pre nás dôležité. Z tohto dôvodu sme vyvinuli Zásady ochrany osobných údajov, ktoré popisujú, ako používame a uchovávame vaše informácie. Prečítajte si naše postupy ochrany osobných údajov a ak máte nejaké otázky, dajte nám vedieť.

Zhromažďovanie a používanie osobných údajov

Osobné údaje sú údaje, ktoré možno použiť na identifikáciu alebo kontaktovanie konkrétnej osoby.

Keď nás budete kontaktovať, môžete byť kedykoľvek požiadaní o poskytnutie svojich osobných údajov.

Nižšie sú uvedené niektoré príklady typov osobných údajov, ktoré môžeme zhromažďovať, a ako môžeme tieto informácie použiť.

Aké osobné údaje zhromažďujeme:

Keď odošlete žiadosť na stránke, môžeme zhromažďovať rôzne informácie vrátane vášho mena, telefónneho čísla, e-mailovej adresy atď.

Ako používame vaše osobné údaje:

Osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, nám umožňujú kontaktovať vás s jedinečnými ponukami, propagačnými akciami a inými udalosťami a pripravovanými udalosťami.
Z času na čas môžeme použiť vaše osobné údaje na zasielanie dôležitých upozornení a komunikácie.
Osobné údaje môžeme použiť aj na interné účely, ako je vykonávanie auditov, analýza údajov a rôzne výskumy, aby sme zlepšili služby, ktoré poskytujeme, a poskytli vám odporúčania týkajúce sa našich služieb.
Ak sa zúčastníte žrebovania o ceny, súťaže alebo podobnej propagačnej akcie, môžeme použiť informácie, ktoré nám poskytnete, na správu takýchto programov.

Sprístupnenie informácií tretím stranám

Informácie, ktoré od vás dostaneme, nezverejňujeme tretím stranám.

Výnimky:

V prípade potreby – v súlade so zákonom, súdnym konaním, v súdnom konaní a/alebo na základe verejných žiadostí alebo žiadostí vládnych orgánov na území Ruskej federácie – poskytnúť vaše osobné údaje. Môžeme tiež zverejniť informácie o vás, ak usúdime, že takéto zverejnenie je potrebné alebo vhodné na účely bezpečnosti, presadzovania práva alebo na iné účely verejného významu.
V prípade reorganizácie, zlúčenia alebo predaja môžeme osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, preniesť na príslušnú nástupnícku tretiu stranu.

Ochrana osobných údajov

Prijímame opatrenia – vrátane administratívnych, technických a fyzických – na ochranu vašich osobných údajov pred stratou, krádežou a zneužitím, ako aj neoprávneným prístupom, zverejnením, zmenou a zničením.

Rešpektovanie vášho súkromia na úrovni spoločnosti

Aby sme zaistili bezpečnosť vašich osobných údajov, informujeme našich zamestnancov o štandardoch ochrany osobných údajov a bezpečnosti a prísne presadzujeme postupy ochrany osobných údajov.

Podobné články: