T Gauss. Aplikácia Gaussovej vety na výpočet elektrických polí
Chernoutsan A.I. Siločiary a Gaussova veta // Kvantové. - 1990. - Číslo 3. - S. 52-55.
Po osobitnej dohode s redakčnou radou a redakciou časopisu "Kvant"
Z vášho školského kurzu fyziky viete, že vizuálnu reprezentáciu elektrického poľa možno získať z obrázku siločiar (zhodneme sa, že „elektrickým“ poľom tu rozumieme elektrostatické pole). Nakreslením dotyčnice k siločiare zistíme smer vektora napätia (šípky na čiarach budú presne naznačovať, kam tento vektor nasmerovať), porovnaním hustoty siločiar na rôznych miestach (t.j. siločiary prechádzajúce jednou oblasťou kolmou na ňu), zistíme, kde a koľkokrát väčšia je veľkosť napätia. Tým sa však význam siločiar nekončí.
Známa vlastnosť spojitosti čiar v prázdnom priestore odráža v skutočnosti najdôležitejšiu vlastnosť elektrického poľa. Sformulujme to: elektrické pole je navrhnuté tak, aby bolo možné kresliť siločiary pri dodržaní pravidla hustoty a bez ich prerušenia v prázdnom priestore medzi nábojmi; čiary začínajú na kladných nábojoch a končia na záporných; Každý náboj začína (alebo končí) počtom riadkov úmerným jeho veľkosti.
Si prekvapený? Zdá sa vám táto vlastnosť samozrejmá? To ani zďaleka nie je pravda. Ak by bol Coulombov zákon mierne odlišný, nebolo by možné kresliť súvisle siločiary. Vezmime si napríklad bodový poplatok. Keď sa od nej vzďaľujete, hustota siločiar klesá. So zvýšením vzdialenosti od náboja o faktor 2 sa teda hustota čiar zníži faktorom 4 (počet čiar sa nezmení, ale plocha gule sa zvýši o faktor 4). O rovnakú hodnotu sa zníži aj intenzita elektrického poľa. Ale len vďaka tomu, že Coulombov zákon obsahuje \(~\frac(1)(r^2)\)! Ak by napríklad existovalo \(~\frac(1)(r^3)\), napätie by sa znížilo nie 4-krát, ale 8-krát, a aby bolo dodržané pravidlo hustoty, polovica siločiar by musel byť odrezaný na ceste z r až 2 r. A toto je v prázdnom priestore!
Matematicky rigoróznym vyjadrením vlastnosti spojitosti siločiar elektrického poľa je Gaussova veta. Aby sme to mohli sformulovať a dokázať, musíme najskôr prejsť od kvalitatívneho jazyka siločiar k presným kvantitatívnym pojmom. Začnime trocha preformulovaním vlastnosti spojitosti čiary.
Zvážte ľubovoľný uzavretý povrch. Ak vo vnútri povrchu nie sú žiadne náboje, potom sa počet riadkov opúšťajúcich povrch presne rovná počtu vstupujúcich riadkov. Je vhodné brať do úvahy prichádzajúce linky spolu s odchádzajúcimi, ale priradiť im znamienko mínus. Potom môžeme povedať, že celkový počet siločiar vychádzajúcich z „prázdneho“ povrchu je nula. Ak je vo vnútri povrchu nejaký náboj, potom je to zrejmé celkový počet čiar vystupujúcich z povrchu bude úmerný veľkosti tohto náboja. Toto je kvalitatívna formulácia Gaussovej vety. Ale poďme ďalej.
Predstavme si skalárne množstvo Φ - nazýva sa tok vektora napätia cez nejakú malú oblasť:
\(~\Phi = ES \cos \alpha\) . (1)
Tu \(~\vec E\) je intenzita poľa v mieste vybranej lokality (keďže lokalita je malá, pole možno považovať za jednotné), S- oblasť lokality, α - uhol medzi vektorom \(~\vec E\) a vektorom \(~\vec n\) kolmo na lokalitu. Pozrite sa na obrázok 1: počet siločiar prenikajúcich cez miesto S, sa rovná súčinu ich hustoty a plochy priečnej plochy \(~S_(\perp) = S \cos \alpha\). Keďže hustota čiar je úmerná E, celkový počet elektrických vedení prechádzajúcich cez lokalitu je úmerný prietoku Φ . Všetky siločiary vychádzajúce z určitého uzavretého povrchu zodpovedajú toku cez tento celý povrch (t.j. súčtu tokov cez jednotlivé malé časti povrchu). Aby odchádzajúce vedenia pozitívne prispievali k toku a prichádzajúce vedenia negatívne, súhlasíme s tým, že kolmica k povrchu „vyzerá“ všade von.
Teraz je jasné, že Gaussovu vetu možno formulovať takto: tok vektora intenzity elektrického poľa cez akýkoľvek uzavretý povrch je úmerný celkovému náboju obsiahnutému v tomto povrchu. Aby sme dokázali túto vetu a zároveň vypočítali koeficient úmernosti, uvažujme najprv jednoduchú, ale veľmi dôležitú vlastnosť veličiny Φ .
Napíšme vzorec (1) v tvare \(~\Phi = (E \cos \alpha) S = E_n S\), kde E n je priemet vektora \(~\vec E\) do smeru normály \(~\vec n\). Ak je pole vytvorené niekoľkými nábojmi, potom podľa princípu superpozície \(~\vec E = \vec E_1 + \vec E_2 + \ldots + \vec E_k\). Ale projekcia súčtu vektorov sa rovná súčtu projekcií: E n= E 1n+ E 2n + … + E kn. Z toho dostaneme, že celkový tok vektora intenzity sa rovná súčtu tokov vytvorených jednotlivými nábojmi: Φ = Φ 1 + Φ 2 + … + Φ k. Preto môžeme hovoriť o príspevku k celkovému toku z každého jednotlivého náboja.
Najprv dokážme, že príspevok k toku z bodového náboja q umiestnený mimo uzavretého povrchu sa rovná nule. Uvažujme dve malé plochy povrchu, odrezané úzkym kužeľom (obr. 2). Máme
\(~\začiatok(matica) \Phi_1 = E_1 S_1 \cos \alpha_1 = -E_1 S_(1 \perp) \\ \Phi_2 = E_2 S_2 \cos \alpha_2 = E_2 S_(2 \perp) \end(matica) \),
kde \(~E_1 = \frac(1)(4 \pi \varepsilon_0) \frac(q)(r^2_1)\) , \(~E_2 = \frac(1)(4 \pi \varepsilon_0) \frac (q)(r^2_2)\) .
Z podobnosti vyplýva, že
\(~\frac(r^2_1)(r^2_2) = \frac(S_(1 \perp))(S_(2 \perp))\) .
teda
\(~\Phi_1 = -\Phi_2\) alebo \(~\Phi_1 + \Phi_2 = 0\).
Podobná vzájomná deštrukcia tokov nastáva pre akúkoľvek inú dvojicu zodpovedajúcich sekcií.
Vypočítajme teraz príspevok k toku z bodového náboja umiestneného vo vnútri uzavretého povrchu. Obklopme náboj guľovou plochou s polomerom r(obr. 3). Uvažovaním podobne ako v predchádzajúcom sme zistili, že v tomto prípade Φ 1 = Φ 2, t.j. že tok cez ľubovoľný uvažovaný povrch sa rovná toku cez guľu. A prietok cez guľu sa dá ľahko vypočítať:
\(~\Phi = ES = \frac(1)(4 \pi \varepsilon_0) \frac(q)(r^2) 4 \pi r^2 = \frac(q)(\varepsilon_0)\) .
Tak sme sa dostali ku konečnej formulácii Gaussovej vety: tok vektora intenzity elektrického poľa cez ľubovoľný uzavretý povrch sa rovná celkovému náboju obsiahnutému v tomto povrchu vydelenému elektrickou konštantou, t.j.
\(~\Phi = \frac(\sum q_(vnutr))(\varepsilon_0)\) . (2)
Teraz prejdime k zábavnej časti – začnime ťažiť z výhod. Prvou aplikáciou Gaussovej vety je výpočet intenzity elektrického poľa. Okamžite urobme výhradu, že okruh takto riešených úloh nie je príliš široký (na rozdiel od metódy založenej na využití princípu superpozície). Ale stále existuje. Ak napríklad vopred poznáme smer vektora napätia vo všetkých bodoch priestoru, ktoré nás zaujímajú, ak sa nám podarilo vybrať uzavretú plochu, pre ktorú je výpočet toku vektora napätia jednoduchý, možno čaká úspech nás. Ale aký úspech!
Ako viete, Newtonovi trvalo mnoho rokov, kým dokázal, že sila príťažlivosti hmotnej častice ku guli (Zeme) sa nezmení, ak sa celá hmotnosť gule sústredí v jej strede. Na vykonanie dôkazu na princípe superpozície musel výrazne rozvinúť integrálny počet. Teraz sledujte, ako sa môžeme ľahko vyrovnať s takmer rovnakou úlohou. Vezmite loptičku rovnomerne nabitú nábojom Q, a vypočítajte pole mimo neho - na diaľku r od jeho stredu (obr. 4). Z úvah o symetrii je jasné, že vektor intenzity poľa \(~\vec E\) je všade nasmerovaný pozdĺž polomeru. Vyjadrime tok vektora napätia cez sféru s polomerom r dve cesty. Podľa definície toku
\(~\Phi = ES = 4 \pi E r^2\) ,
a podľa Gaussovej vety
\(~\Phi = \frac(Q)(\varepsilon_0)\) .
Odtiaľto sa dostaneme
\(~E = \frac(1)(4 \pi \varepsilon_0) \frac(Q)(r^2)\)
Pole nabitej lopty mimo nej sa zhoduje s poľom bodového náboja umiestneného v strede lopty.
Ďalší príklad: nájdime intenzitu poľa nekonečnej nabitej roviny s hustotou povrchového náboja σ (obr. 5). Zo symetrie je zrejmé, že vektor \(~\vec E\) je všade kolmý na rovinu. Vyberme si uzavretú plochu vo forme valca umiestneného symetricky k rovine. Tok vektora napätia cez bočný povrch valca je nulový a cez každú základňu s plochou S je to rovné ES, t.j.
\(~\Phi = 2 ES\) .
Ale podľa Gaussovej vety
\(~\Phi = \frac(\sigma S)(\varepsilon_0)\) .
Vyrovnaním pravých strán oboch rovností dostaneme
\(~E = \frac(\sigma)(2 \varepsilon_0)\) .
Na záver ešte posledný príklad. Týka sa to jednej veľmi dôležitej vlastnosti vodičov. Ukážme, že statické náboje vodiča sa vždy nachádzajú na jeho povrchu. Dôkaz je veľmi jednoduchý. Pretože intenzita poľa vo vnútri vodiča je nulová (inak by došlo k pohybu voľných nábojov), potom je tok vektora intenzity cez akýkoľvek uzavretý povrch nakreslený vo vodiči nulový. A to znamená, že náboj vo vnútri akéhokoľvek malého povrchu v hrúbke vodiča je tiež nulový. V dôsledku toho sú všetky náboje vodiča skutočne umiestnené na jeho povrchu.
A teraz - dôležitá poznámka. Dôkaz elektrickej neutrality objemu vodiča je založený na Gaussovej vete, ktorá rovnako ako vlastnosť spojitosti siločiar platí len vtedy, ak \(~\frac(1)(r^2)\) je v Coulombov zákon. Záver: platnosť Coulombovho zákona možno overiť experimentálne. Na to stačí zabezpečiť, aby hrúbka vodiča bola elektricky neutrálna.
Vidíte, koľko zaujímavých vecí sa dá povedať len jednou vetou – Gaussovou vetou.
Elektrostatické pole možno jasne znázorniť pomocou siločiar (ťahových čiar). Elektrické vedenie sa nazývajú krivky, ktorých dotyčnice sa v každom bode zhodujú s vektorom napätia E.
Siločiary sú konvenčným konceptom a v skutočnosti neexistujú. Siločiary jediného záporného a jediného kladného náboja sú znázornené na obr. 5 sú radiálne čiary vychádzajúce z kladného náboja alebo smerujúce k zápornému náboju.
Ak hustota a smer siločiar v celom objeme poľa zostanú nezmenené, takéto elektrostatické pole sa považuje za homogénne (počet čiar by sa mal číselne rovnať intenzite poľa E).
Počet siločiar označených ">dS, kolmých na ne, určuje tok vektora intenzity elektrostatického poľa:
vzorec" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook785/files/17-1.gif" border="0" align="absmiddle" alt="- priemet vektora E do smeru normály n do miesta dS (obr. 6).
V súlade s tým tok vektora E cez ľubovoľný uzavretý povrch S
značka">S nielen veľkosť, ale aj znamienko toku sa môže meniť:
1) so vzorcom" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook785/files/17-4.gif" border="0" align="absmiddle" alt="
3) pri výbere"> Nájdite tok vektora E cez guľovú plochu S, v strede ktorej je bodový náboj q.
V tomto prípade sa značky ">E a n zhodujú vo všetkých bodoch guľovej plochy.
Berúc do úvahy intenzitu poľa bodového náboja, vzorec" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook785/files/18-2.gif" border="0" align="absmiddle " alt="(! JAZYK:dostaneme
vzorec" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook785/files/Fe.gif" border="0" align="absmiddle" alt="- algebraická veličina závislá od znamienka náboja. Napríklad, keď q<0 линии Е направлены к заряду и противоположны направлению внешней нормали n ..gif" border="0" align="absmiddle" alt="okolo náboja q má ľubovoľný tvar. Je zrejmé, že povrch je označený ">E, rovnako ako povrch S. Preto tok vektora E cez ľubovoľný povrch je podľa vzorca" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook785/ files/Fe.gif" border ="0" align="absmiddle" alt=".
Ak je náboj umiestnený mimo uzavretého povrchu, potom, samozrejme, koľko čiar vstúpi do uzavretej oblasti, rovnaký počet ju opustí. V dôsledku toho sa tok vektora E bude rovnať nule.
Ak je elektrické pole vytvorené sústavou bodových nábojov vzorec" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook785/files/18-4.gif" border="0" align="absmiddle" alt="
Tento vzorec je matematickým vyjadrením Gaussovej vety: tok vektora intenzity elektrického poľa E vo vákuu cez ľubovoľný uzavretý povrch sa rovná algebraickému súčtu nábojov, ktoré pokrýva, delené vzorec" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook785/files/18-6.gif" border="0" align="absmiddle" alt="
Na dokončenie popisu predstavme aj Gaussovu vetu v lokálnej forme, pričom sa nespoliehame na integrálne vzťahy, ale na parametre poľa v danom bode priestoru. Na tento účel je vhodné použiť diferenciálny operátor - vektorová divergencia, -
vzorec" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook785/files/nabla.gif" border="0" align="absmiddle" alt="("nabla") -
vzorec" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook785/files/19-1.gif" border="0" align="absmiddle" alt="
V matematickej analýze je známa Gauss-Ostrogradského veta: tok vektora cez uzavretý povrch sa rovná integrálu jeho divergencie cez objem obmedzený týmto povrchom -
vzorec" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook785/files/ro.gif" border="0" align="absmiddle" alt=":
vzorec" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook785/files/19-4.gif" border="0" align="absmiddle" alt="
Tento výraz je Gaussova veta v lokálnej (diferenciálnej) forme.
Gaussova veta (2.2) nám umožňuje určiť sily rôznych elektrostatických polí. Pozrime sa na niekoľko príkladov aplikácie Gaussovej vety.
1. Počítajme E elektrostatické pole vytvorené rovnomerne nabitým guľovým povrchom.
Predpokladajme, že guľová plocha s polomerom R nesie rovnomerne rozložený náboj q, t.j. hustota povrchového náboja je všade rovnaká značka ">r >R zo stredu gule mentálne zostrojíme novú guľovú plochu S, symetrickú k nabitej gule. V súlade s Gaussovou vetou
vzorec" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook785/files/20-1.gif" border="0" align="absmiddle" alt="
Pre body umiestnené na povrchu nabitej gule s polomerom R môžeme analogicky napísať:
výber">vo vnútri nabitej gule neobsahuje v sebe elektrické náboje, takže značka toku">E = 0.
Uvažujme pole bodového náboja $q$ a nájdime tok vektora intenzity ($\overrightarrow(E)$) cez uzavretú plochu $S$. Budeme predpokladať, že náboj sa nachádza vo vnútri povrchu. Tok vektora napätia akýmkoľvek povrchom sa rovná počtu čiar vektora napätia, ktoré zhasnú (začínajú pri náboji, ak $q>0$) alebo počtu čiar $\overrightarrow(E)$ vstupujúcich dovnútra , ak $q \[Ф_E=\frac( q)((\varepsilon )_0)\ \left(1\right),\]
kde sa znamienko toku zhoduje so znamienkom náboja.
Ostrogradského-Gaussova veta v integrálnom tvare
Predpokladajme, že vnútri povrchu S je N bodových nábojov, hodnoty $q_1,q_2,\bodky q_N.$ Z princípu superpozície vieme, že výslednú intenzitu poľa všetkých N nábojov možno nájsť ako súčet intenzity poľa, ktoré sú vytvorené každým z nábojov, potom existuje:
Preto pre tok systému bodových poplatkov môžeme napísať:
Pomocou vzorca (1) dostaneme, že:
\[Ф_E=\oint\limits_S(\overrightarrow(E)d\overrightarrow(S))=\frac(1)((\varepsilon )_0)\sum\limits^N_(i=1)(q_i\ )\ vľavo(4\vpravo).\]
Rovnica (4) znamená, že tok vektora intenzity elektrického poľa cez uzavretý povrch sa rovná algebraickému súčtu nábojov, ktoré sú vo vnútri tohto povrchu, vydelenému elektrickou konštantou. Toto je Ostrogradského-Gaussova veta v integrálnej forme. Táto veta je dôsledkom Coulombovho zákona. Význam tejto vety je v tom, že umožňuje celkom jednoducho vypočítať elektrické polia pre rôzne rozloženia náboja.
V dôsledku Ostrogradského-Gaussovej vety treba povedať, že tok vektora intenzity ($Ф_E$) cez uzavretý povrch v prípade, že sú náboje mimo tohto povrchu, je rovný nule.
V prípade, keď možno ignorovať diskrétnosť nábojov, použije sa koncept objemovej hustoty náboja ($\rho $), ak je náboj rozložený v celom objeme. Je definovaný ako:
\[\rho =\frac(dq)(dV)\left(5\right),\]
kde $dq$ je poplatok, ktorý možno považovať za bodový, $dV$ je malý objem. (Pokiaľ ide o $dV$, je potrebné urobiť nasledujúcu poznámku. Tento objem je dostatočne malý na to, aby sa hustota náboja v ňom mohla považovať za konštantnú, ale dostatočne veľká na to, aby sa nezačala objavovať diskrétnosť náboja). Celkový náboj, ktorý je v dutine, možno nájsť ako:
\[\sum\limits^N_(i=1)(q_i\ )=\int\limits_V(\rho dV)\left(6\right).\]
V tomto prípade vzorec (4) prepíšeme do tvaru:
\[\oint\limits_S(\overrightarrow(E)d\overrightarrow(S))=\frac(1)((\varepsilon )_0)\int\limits_V(\rho dV)\left(7\right).\ ]
Ostrogradského-Gaussova veta v diferenciálnom tvare
Použitie Ostrogradského-Gaussovho vzorca pre akékoľvek pole vektorovej povahy, pomocou ktorého sa uskutočňuje prechod z integrácie cez uzavretý povrch na integráciu cez objem:
\[\oint\limits_S(\overrightarrow(a)\overrightarrow(dS)=\int\nolimits_V(div))\overrightarrow(a)dV\ \left(8\right),\]
kde $\overrightarrow(a)-$field vector (v našom prípade je to $\overrightarrow(E)$), $div\overrightarrow(a)=\overrightarrow(\nabla )\overrightarrow(a)=\frac(\ čiastočné a_x)(\čiastočné x)+\frac(\čiastočné a_y)(\čiastočné y)+\frac(\čiastočné a_z)(\čiastočné z)$ -- divergencia vektora $\overrightarrow(a)$ na bod so súradnicami ( x,y,z), ktorý mapuje vektorové pole na skalárne. $\overrightarrow(\nabla )=\frac(\partial )(\čiastočné x)\overrightarrow(i)+\frac(\partial )(\partial y)\overrightarrow(j)+\frac(\partial )(\ čiastočný z)\overrightarrow(k)$ - pozorovateľný operátor. (V našom prípade to bude $div\overrightarrow(E)=\overrightarrow(\nabla )\overrightarrow(E)=\frac(\partial E_x)(\partial x)+\frac(\partial E_y)(\partial y) +\frac(\partial E_z)(\partial z)$) -- divergencia vektora napätia. Podľa vyššie uvedeného prepíšeme vzorec (6) takto:
\[\oint\limits_S(\overrightarrow(E)\overrightarrow(dS)=\int\nolimits_V(div))\overrightarrow(E)dV=\frac(1)((\varepsilon )_0)\int\limits_V( \rho dV)\vľavo(9\vpravo).\]
Rovnosti v rovnici (9) sú splnené pre akýkoľvek objem, a to je možné len vtedy, ak sú funkcie, ktoré sú v integrandoch rovnaké v každom prúde priestoru, to znamená, že môžeme napísať, že:
Výraz (10) je Ostrogradského-Gaussova veta v diferenciálnej forme. Jeho interpretácia je nasledovná: náboje sú zdrojom elektrického poľa. Ak $div\overrightarrow(E)>0$, potom v týchto bodoch poľa (poplatky sú kladné) máme zdroje poľa, ak $div\overrightarrow(E)
Priradenie: Náboj je rovnomerne rozložený po celom objeme; Je vpísaný do gule. Nájdite pomer tokov vektora napätia cez tieto povrchy.
Podľa Gaussovej vety je tok ($Ф_E$) vektora intenzity $\overrightarrow(E)$ cez uzavretý povrch s rovnomerným rozložením náboja v objeme rovný:
\[Ф_E=\frac(1)((\varepsilon )_0)Q=\frac(1)((\varepsilon )_0)\int\limits_V(\rho dV=\frac(\rho )((\varepsilon ) _0)\int\limits_V(dV)=\frac(\rho V)((\varepsilon )_0))\left(1.1\right).\]
Preto musíme určiť objemy kocky a gule, ak je guľa popísaná okolo tejto kocky. Na začiatok objem kocky ($V_k$), ak sa jej strana b rovná:
Nájdite objem lopty ($V_(sh)$) pomocou vzorca:
kde $D$ je priemer gule a (keďže guľa je opísaná okolo kocky), hlavná uhlopriečka kocky. Preto musíme uhlopriečku kocky vyjadriť jej stranou. Je to jednoduché, ak použijete Pytagorovu vetu. Na výpočet uhlopriečky kocky, napríklad (1.5), musíme najprv nájsť uhlopriečku štvorca (spodná základňa kocky) (1.6). Dĺžka uhlopriečky (1,6) sa rovná:
V tomto prípade sa dĺžka uhlopriečky (1,5) rovná:
\[(D=D)_(15)=\sqrt(b^2+((\sqrt(b^2+b^2\ \ \ )))^2)=b\sqrt(3)\ \left (1,5\vpravo).\]
Nahradením nájdeného priemeru gule do (1.3) dostaneme:
Teraz môžeme nájsť toky vektora napätia cez povrch kocky, rovná sa:
\[Ф_(Ek)=\frac(\rho V_k)((\varepsilon )_0)=\frac(\rho b^3)((\varepsilon )_0)\left(1.7\right),\]
cez povrch lopty:
\[Ф_(Esh)=\frac(\rho V_(sh))((\varepsilon )_0)=\frac(\rho )((\varepsilon )_0)\frac(\sqrt(3))(2) \pi b^3\ \left(1,8\right).\]
Nájdite pomer $\frac(Ф_(Esh))(Ф_(Ek))$:
\[\frac(Ф_(Esh))(Ф_(Ek))=\frac(\frac(с)(\varepsilon_0)\frac(\sqrt(3))(2) \pi b^3)(\frac (сb^3)(\varepsilon_0))=\frac(\pi)(2)\sqrt(3)\ \cca 2,7\left(1,9\right).\]
Odpoveď: Tok cez povrch gule je 2,7-krát väčší.
Úloha: Dokážte, že náboj vodiča sa nachádza na jeho povrchu.
Na dôkaz používame Gaussovu vetu. Vyberme uzavretú plochu ľubovoľného tvaru vo vodiči blízko povrchu vodiča (obr. 2).
Predpokladajme, že vo vodiči sú náboje, napíšeme Ostrogradského-Gaussovu vetu pre divergenciu poľa pre ľubovoľný bod na povrchu S:
kde $\rho je hustota\ $ vnútorného náboja. Vo vnútri vodiča však nie je žiadne pole, to znamená $\overrightarrow(E)=0$, teda $div\overrightarrow(E)=0\to \rho =0$. Ostrogradského-Gaussova veta v diferenciálnej forme je lokálna, to znamená, že je napísaná pre bod poľa, bod sme nevybrali špeciálnym spôsobom, preto je hustota náboja v akomkoľvek bode poľa vo vnútri vodiča nulová.
Dôkladné odvodenie Ostrogradského–Gaussovej vety je pomerne zložité, nakreslíme jej odvodenie pre konkrétny prípad, ktorý sa dá celkom presvedčivo zovšeobecniť. Ostrogradského-Gaussova veta nám umožňuje určiť tok vektora napätia z ľubovoľného počtu nábojov. Na začiatok určíme tok vektora napätia cez guľovú plochu, v strede ktorej sa bude nachádzať bodový náboj.
Z toho vyplýva z každého bodového náboja vzniká tok vektora intenzity,čo sa rovná hodnote q/εε 0. Zo zovšeobecnenia tejto pozície je odvodená Ostrogradského-Gaussova veta pre všeobecný prípad – celkový tok vektora intenzity cez uzavretý povrch ľubovoľného tvaru sa rovná algebraickému súčtu elektrických nábojov obsiahnutých vo vnútri tohto povrchu, vydelenému absolútnou dielektrickou konštantou ε a = εε 0, teda:
Kde: n je počet nábojov, q i je náboj zaostrený vo vnútri povrchu.
V Gaussovom systéme bude mať táto rovnica tvar:
Pre tok vektora elektrického posunu ND (indukčný vektor) možno získať podobný vzorec:
To znamená, že indukčný tok cez uzavretý ľubovoľný povrch sa rovná algebraickému súčtu elektrických nábojov, ktoré sú pokryté týmto povrchom.
Ak zoberieme nejakú uzavretú plochu, ktorá nepokrýva náboj q, tak každá čiara napätia (alebo indukcie) ňou prejde dvakrát – raz do povrchu vstúpi a inokedy ho opustí. Kvôli tomuto javu bude algebraický súčet indukčných čiar prechádzajúcich uzavretým povrchom, ktorých počet určuje celkový tok indukcie N D cez tento povrch, rovný nule (N D = 0).
Predtým, ako zvážime niekoľko špeciálnych prípadov použitia Ostrogradského-Gaussovej vety na určenie sily rôznych elektrostatických polí, zavedieme koncept hustoty náboja.
je fyzikálna veličina, ktorá charakterizuje rozloženie náboja pozdĺž čiary (závitu) alebo tenkého valcového telesa a číselne sa rovná pomeru náboja k dĺžke prvku závitu:
A pri rovnomernom rozložení náboja po celej dĺžke je lineárna hustota:
V SI je jednotka lineárnej hustoty náboja τ 1 C/m.
Ak je náboj dq rozložený v určitom objeme dV, potom je zrejmé, že objemová hustota náboja sa bude číselne rovnať pomeru náboja k objemovému prvku:
A s rovnomerným rozložením náboja:
V sústave SI sa meria v 1 C/m3.
V prípadoch, keď je náboj dq rozložený po povrchu dS a hĺbka jeho prieniku je zanedbateľne malá, potom hustota povrchového náboja bude určený vzťahom:
A ak je náboj q rozložený rovnomerne po ploche S, potom:
V sústave SI sa povrchová hustota meria v C/m2.
Vypočítajme , ktorý je vytvorený rovnomerne nabitou guľovou plochou.
Predpokladajme, že guľový povrch má polomer R a rovnomerne rozložený náboj q, to znamená, že hustota povrchu σ v ktoromkoľvek bode gule bude rovnaká.
Vyberme si bod A, ktorý sa nachádza vo vzdialenosti r od stredu gule (obrázok nižšie):
Cez bod A mentálne nakreslíme novú guľovú plochu S, symetrickú k nabitej gule.
V tomto prípade cez plochu S bude tok vektora intenzity rovný:
Podľa Gaussovej vety NE = q/εε 0 . Z toho vyplýva, že pre r>R:
Ak porovnáme tento vzťah so vzorcom pre intenzitu poľa bodového náboja, môžeme dospieť k záveru, že mimo nabitej gule je intenzita poľa taká, ako keby bol všetok dostupný náboj na gule sústredený v jej strede.
Pre body, ktoré sú na povrchu nabitej gule s existujúcim polomerom R, môžeme analogicky s rovnicou (7) napísať:
Ak vedieme cez bod B, ktorý sa nachádza vo vnútri guľového nabitého povrchu, guľa S / s polomerom r / Teraz skúsme určiť intenzita poľa vytvorená rovnomerne nabitým závitom (valcom) nekonečnej dĺžky. Predpokladajme, že dutá valcová plocha s určitým polomerom R je nabitá konštantnou plošnou hustotou σ. Nakreslíme valcovú koaxiálnu plochu s polomerom r>R. Cez tento povrch bude tok vektora napätia rovný: Podľa Gaussovej vety: Porovnaním pravých strán týchto rovníc dostaneme: Zo vzorca (4a) zistíme, že hustota lineárneho náboja valca sa rovná: Pomocou tejto rovnosti zistíme: Teraz definujme intenzita poľa, ktorá je vytvorená rovnomerne nabitou nekonečnou rovinou. Ak predpokladáme, že táto rovina má nekonečný rozsah a náboj na jednotkovú rovinu sa rovná σ. Zo zákonov symetrie vyplýva, že pole je nasmerované všade kolmo na rovinu a ak neexistujú žiadne iné vonkajšie náboje, polia na oboch stranách roviny musia mať rovnakú veľkosť. Ak obmedzíme časť nabitej roviny 1 na imaginárny obdĺžnikový box 2 (Gaussov povrch), tak aby bol box rozrezaný na polovicu (obrázok nižšie). Obe strany krabice, ktoré majú určitú plochu S, musia byť umiestnené rovnobežne s rovinou nabitia. Vektor E sa rovná celkovému toku vektora intenzity vynásobenému plochou prvej plochy S plus toku vektora E cez opačnú stranu. Cez zostávajúce plochy bude tok napätia nulový, pretože ich nepretínajú ťahové čiary. Zopakovaním predchádzajúcich argumentov a použitím Ostrogradského-Gaussovej vety dostaneme nasledujúci výraz: Ale E = E1 = E2. V tomto prípade sa intenzita poľa nekonečnej rovnomernej roviny bude rovnať: Súradnice bodu, v ktorom sa určuje intenzita poľa, nie sú zahrnuté vo vzorci (12). Z toho vyplýva, že v nekonečnej rovnomerne nabitej rovine bude elektrostatické pole rovnomerné a jeho intenzita v ktoromkoľvek bode poľa bude rovnaká. A nakoniec určme intenzitu poľa, ktoré je vytvorené dvoma nekonečnými rovnobežnými rovinami, s rovnakými hustotami a rôzne nabitými. Z vyššie uvedeného obrázku je zrejmé, že medzi dvoma nekonečnými rovnobežnými rovinami s hustotou povrchového náboja –σ a +σ sa intenzita poľa rovná súčtu intenzity poľa, ktoré sú vytvorené oboma doskami, to znamená: Vektory E mimo platní sú nasmerované proti sebe a navzájom sa rušia. Preto intenzita elektrického poľa v priestore, ktorý obklopuje platne, bude nulová (E = 0). Keď je veľa poplatkov, pri výpočte polí vznikajú určité ťažkosti. Gaussova veta ich pomáha prekonať. Podstatou Gaussova veta sa scvrkáva na nasledovné: ak je ľubovoľný počet nábojov mentálne obklopený uzavretým povrchom S, potom tok intenzity elektrického poľa cez elementárnu oblasť dS možno zapísať ako dФ = Есоsα۰dS, kde α je uhol medzi normálou a rovina a vektor sily Celkový tok cez celý povrch sa bude rovnať súčtu tokov zo všetkých nábojov náhodne rozmiestnených v ňom a úmerný veľkosti tohto náboja Určme tok vektora intenzity cez guľovú plochu s polomerom r, v strede ktorej sa nachádza bodový náboj +q (obr. 12.8). Napínacie čiary sú kolmé na povrch gule, α = 0, teda cosα = 1. Potom Ak je pole tvorené sústavou poplatkov, tak Gaussova veta:
tok vektora intenzity elektrostatického poľa vo vákuu cez akýkoľvek uzavretý povrch sa rovná algebraickému súčtu nábojov obsiahnutých vo vnútri tohto povrchu, vydelenému elektrickou konštantou. Ak vo vnútri gule nie sú žiadne náboje, potom Ф = 0. Gaussova veta relatívne zjednodušuje výpočet elektrických polí pre symetricky rozložené náboje. Predstavme si pojem hustoty distribuovaných nábojov. Lineárna hustota sa označuje τ a charakterizuje náboj q na jednotku dĺžky ℓ. Vo všeobecnosti sa dá vypočítať pomocou vzorca Pri rovnomernom rozložení nábojov sa lineárna hustota rovná Povrchová hustota sa značí σ a charakterizuje náboj q na jednotku plochy S. Vo všeobecnosti je určená vzorcom Pri rovnomernom rozložení nábojov po povrchu sa hustota povrchu rovná Objemová hustota sa označuje ρ a charakterizuje náboj q na jednotku objemu V. Vo všeobecnosti sa určuje podľa vzorca Pri rovnomernom rozložení poplatkov sa rovná Pretože náboj q je na gule rovnomerne rozložený σ = konšt. Aplikujme Gaussovu vetu. Nakreslime guľu s polomerom cez bod A. Tok vektora napätia na obr. 12.9 cez guľovú plochu s polomerom sa rovná cosα = 1, pretože α = 0. Podľa Gaussovej vety, Z výrazu (12.14) vyplýva, že intenzita poľa mimo nabitej gule je rovnaká ako intenzita poľa bodového náboja umiestneného v strede gule. Na povrchu gule, t.j. r 1 = r 0, napätie Vo vnútri gule r 1< r 0
(рис.12.9) напряжённость Е = 0, так как сфера
радиусом r 2
внутри
никаких зарядов не содержит и, по теореме
Гаусса, поток вектора сквозь такую
сферу равен нулю. Valec s polomerom r 0 je rovnomerne nabitý povrchovou hustotou σ (obr. 12.10). Určme intenzitu poľa v ľubovoľne zvolenom bode A. Narysujme bodom A imaginárnu valcovú plochu s polomerom R a dĺžkou ℓ. Vďaka symetrii bude prúdenie vystupovať len cez bočné plochy valca, keďže náboje na valci s polomerom r 0 sú rozložené rovnomerne po jeho povrchu, t.j. čiary napätia budú radiálne priame čiary, kolmé na bočné plochy oboch valcov. Pretože prietok cez základňu valcov je nulový (cos α = 0) a bočný povrch valca je kolmý na siločiary (cos α = 1), potom Vyjadrime hodnotu E cez σ - plošnú hustotu. A-priory, Dosadíme hodnotu q do vzorca (12.15) Podľa definície lineárnej hustoty, tie. Intenzita poľa vytvorená nekonečne dlhým nabitým valcom je úmerná lineárnej hustote náboja a nepriamo úmerná vzdialenosti. Intenzita poľa vytvorená nekonečnou rovnomerne nabitou rovinou
Podľa Gaussovej vety, Pretože Intenzita poľa nekonečnej nabitej roviny je teda úmerná hustote povrchového náboja a nezávisí od vzdialenosti od roviny. Preto je pole roviny rovnomerné. Intenzita poľa vytvorená dvoma opačne rovnomerne nabitými rovnobežnými rovinami
Medzi rovinami majú intenzity poľa rovnaké smery, takže výsledná sila je rovná Pole medzi dvoma rôzne nabitými rovinami je teda rovnomerné a jeho intenzita je dvakrát silnejšia ako intenzita poľa vytváraná jednou rovinou. Naľavo a napravo od lietadiel nie je žiadne pole. Pole konečných rovín má rovnakú formu skreslenia len v blízkosti ich hraníc. Pomocou výsledného vzorca môžete vypočítať pole medzi doskami plochého kondenzátora.
. (Obr. 12.7)
(12.9)
(12.10)
(12.11)
(12.12)
(12.13)
.
.
alebo
(12.14)
.
alebo
(12.15)
teda, 
(12.16)
, kde 
; tento výraz dosadíme do vzorca (12.16):
(12.17)
Určme intenzitu poľa vytvorenú nekonečnou rovnomerne nabitou rovinou v bode A. Nech sa hustota povrchového náboja roviny rovná σ. Ako uzavretú plochu je vhodné zvoliť valec, ktorého os je kolmá na rovinu a ktorého pravá základňa obsahuje bod A. Rovina rozdeľuje valec na polovicu. Je zrejmé, že siločiary sú kolmé na rovinu a rovnobežné s bočným povrchom valca, takže celý tok prechádza len cez základňu valca. Na oboch základniach je intenzita poľa rovnaká, pretože body A a B sú symetrické vzhľadom na rovinu. Potom sa prietok cez základňu valca rovná
, To 
, kde
(12.18)
Výsledné pole vytvorené dvoma rovinami je určené princípom superpozície poľa: 
(obr. 12.12). Pole vytvorené každou rovinou je rovnomerné, sily týchto polí sú rovnaké vo veľkosti, ale v opačnom smere: 
. Podľa princípu superpozície je celková intenzita poľa mimo roviny nulová:
